1.5 Vers le calcul des variations
29
I p = inf
1
0
(ϕ(x)
3 − x)
2 (ϕ
′ (x))
6 dx, / ϕ ∈ W
1,p ([0, 1]),ϕ (0) = 0,ϕ (1) = 1
o` u W
1,p ([0, 1]) est d´ efini comme dans (1.55), v´ erifie
I p >I 1 =0, pour tout p ≥ 3/2.
En d’autres termes, pour p = 1 (et en fait pour tout p<
3
2
) l’infimum est
z´ ero (consid´ erer la fonction ϕ 0 (x)=x
1/3 ), mais si on prescrit une r´ egularit´ e
` a peine plus forte, alors l’infimum augmente strictement.
Revenons maintenant `
a (1.54) et modifions maintenant le mod` ele, en
consid´ erant cette fois le mod` ele suivant, de la forme (1.52)
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ(x)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = ϕ(1) = 0
,
(1.57)
Cette fois,
le probl` eme (1.57) n’a aucun minimiseur.
En effet, en construisant la fonction
ϕ ε (x)=
x
si 0 ≤ x ≤ ε,
2ε − x si ε ≤ x ≤ 2ε
et en la reproduisant de mani` ere 2ε-p´ eriodique sur le segment [0, 1], on voit
qu’on construit une suite de fonctions (dessin´ ees en Figure 1.11) qui est telle
que
0 ≤
1
0
((ϕ
′
ε (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ ε (x)
2 dx ≤ 0+ε
2 ,
ce qui montre que l’infimum d´ efini par (1.57) vaut z´ ero. Mais alors, s’il existait
un minimiseur ϕ 0 de ce probl` eme on aurait
1
0
((ϕ
′
0 (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ 0 (x)
2 dx =0,
d’o` u les exigences contradictoires ϕ 0 ≡ 0e t|ϕ
′
0 |≡1.
Ce troisi` eme exemple est particuli` erement int´ eressant, car on y voit s’y
d´ evelopper un v´ eritable ph´ enom` ene multi´ echelle, assez proche de ce qui peut
se produire sur un cas r´ eel du type (1.52) ou (1.53).
Pour minimiser l’´ energie, la suite minimisante de la Figure 1.11 se met ` a
exhiber des structures de plus en plus fines, en fait jusqu’` a une finesse microscopique infinie, sans qu’il existe asymptotiquement un minimum. Il s’agit
d’un ph´ enom` ene que nous retrouverons plus loin dans ce cours : la suite ϕ ε
converge faiblement, mais pas fortement, dans H
1 .
29
I p = inf
1
0
(ϕ(x)
3 − x)
2 (ϕ
′ (x))
6 dx, / ϕ ∈ W
1,p ([0, 1]),ϕ (0) = 0,ϕ (1) = 1
o` u W
1,p ([0, 1]) est d´ efini comme dans (1.55), v´ erifie
I p >I 1 =0, pour tout p ≥ 3/2.
En d’autres termes, pour p = 1 (et en fait pour tout p<
3
2
) l’infimum est
z´ ero (consid´ erer la fonction ϕ 0 (x)=x
1/3 ), mais si on prescrit une r´ egularit´ e
` a peine plus forte, alors l’infimum augmente strictement.
Revenons maintenant `
a (1.54) et modifions maintenant le mod` ele, en
consid´ erant cette fois le mod` ele suivant, de la forme (1.52)
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ(x)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = ϕ(1) = 0
,
(1.57)
Cette fois,
le probl` eme (1.57) n’a aucun minimiseur.
En effet, en construisant la fonction
ϕ ε (x)=
x
si 0 ≤ x ≤ ε,
2ε − x si ε ≤ x ≤ 2ε
et en la reproduisant de mani` ere 2ε-p´ eriodique sur le segment [0, 1], on voit
qu’on construit une suite de fonctions (dessin´ ees en Figure 1.11) qui est telle
que
0 ≤
1
0
((ϕ
′
ε (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ ε (x)
2 dx ≤ 0+ε
2 ,
ce qui montre que l’infimum d´ efini par (1.57) vaut z´ ero. Mais alors, s’il existait
un minimiseur ϕ 0 de ce probl` eme on aurait
1
0
((ϕ
′
0 (x)
2 − 1)
2 dx +
1
0
ϕ 0 (x)
2 dx =0,
d’o` u les exigences contradictoires ϕ 0 ≡ 0e t|ϕ
′
0 |≡1.
Ce troisi` eme exemple est particuli` erement int´ eressant, car on y voit s’y
d´ evelopper un v´ eritable ph´ enom` ene multi´ echelle, assez proche de ce qui peut
se produire sur un cas r´ eel du type (1.52) ou (1.53).
Pour minimiser l’´ energie, la suite minimisante de la Figure 1.11 se met ` a
exhiber des structures de plus en plus fines, en fait jusqu’` a une finesse microscopique infinie, sans qu’il existe asymptotiquement un minimum. Il s’agit
d’un ph´ enom` ene que nous retrouverons plus loin dans ce cours : la suite ϕ ε
converge faiblement, mais pas fortement, dans H
1 .