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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = 0,ϕ (1) = 1
, (1.56)
En changeant seulement de mani` ere ad´ equate la condition aux limites, on
a totalement modifi´ e le paysage, puisque
le probl` eme (1.56) a un unique minimiseur.
En effet, la fonction ϕ(x) ≡ x sur [0, 1] a pour ´ energie z´ ero, donc l’infimum
(1.56) vaut toujours z´ ero. Un minimiseur quelconque v´ erifie donc ϕ
′ (x)
2 =1
d’o` u
1=ϕ(1) − ϕ(0) =
1
0
ϕ
′ (x) dx ≤
1
0
dx =1
d’o` ul ’ ´ egalit´ e dans tous les termes et donc ϕ(x) ≡ x.
La comparaison de (1.54) et (1.56), et le rˆ ole capital jou´ e par les conditions
aux limites, nous am` enent aux commentaires suivants. Changer les conditions
aux limites est un moyen (parmi d’autres, voir la Remarque 1.28 ci-dessous) de
changer l’espace fonctionnel sur lequel on minimise. Et en fait, l’occurence de
tel ou tel comportement d´ epend non seulement de la fonctionnelle d’´ energie
qu’on minimise, mais aussi pr´ ecis´ ementde l’ensemble sur lequel on la minimise. Trivialement, e
−t
2 a deux minimiseurs sur [−1, 1] mais n’en a aucun
sur IR. Ceci nous conduit ` a souligner un point qui a ´ et´ e totalement pass´ e
sous silence dans les sections pr´ ec´ edentes. Nous nous sommes attach´ es, avec
beaucoup d’efforts, `
ad ´ eterminer ` a partir du niveau atomique une forme de
densit´ e W ` ai n s ´ erer dans le probl` eme de minimisation (1.21), mais poser rigoureusement ce probl` eme requiert de pr´ eciser l’espace fonctionnel o` u varie la
fonction ϕ (on parle de l’espace variationnel ), ce qui est une vraie question en
soi. Au niveau macroscopique, c’est une question qui n’admet pas de r´ eponse
claire
4 , et donc tout ´ el´ ement d’information qui proviendrait du niveau microscopique serait formidablement utile. Et ce d’autant plus que le probl` eme de
minimisation est, comme on vient de le voir ci-dessus, pr´ ecis´ ement tr` es sensible au choix de l’espace variationnel. Malheureusement, `
a ce jour, on n’a pas
encore compris comment faire. On est donc oblig´ ed ec o n s i d ´ erer une vari´ et´ e
d’espaces fonctionnels diff´ erents.
Exercice 1.27. Que dire du cas ϕ(1) = a>1 dans (1.54) ?
Remarque 1.28. Un autre exemple de d´ ependance forte du probl` eme de minimisation par rapport `
a l’espace fonctionnel est le suivant. Cette fois la
d´ ependance ne tient pas aux conditions aux bords, mais `
al ar ´ egularit´ ed e
la fonction sur tout le domaine, et elle se manifeste non sur l’existence d’un
minimiseur mais sur la valeur de l’infimum. On peut montrer que le probl` eme
4 Il y a autant de d´ ebats sur l’espace variationnel que sur la forme de la fonctionnelle elle-mˆ eme.
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
inf
1
0
((ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = 0,ϕ (1) = 1
, (1.56)
En changeant seulement de mani` ere ad´ equate la condition aux limites, on
a totalement modifi´ e le paysage, puisque
le probl` eme (1.56) a un unique minimiseur.
En effet, la fonction ϕ(x) ≡ x sur [0, 1] a pour ´ energie z´ ero, donc l’infimum
(1.56) vaut toujours z´ ero. Un minimiseur quelconque v´ erifie donc ϕ
′ (x)
2 =1
d’o` u
1=ϕ(1) − ϕ(0) =
1
0
ϕ
′ (x) dx ≤
1
0
dx =1
d’o` ul ’ ´ egalit´ e dans tous les termes et donc ϕ(x) ≡ x.
La comparaison de (1.54) et (1.56), et le rˆ ole capital jou´ e par les conditions
aux limites, nous am` enent aux commentaires suivants. Changer les conditions
aux limites est un moyen (parmi d’autres, voir la Remarque 1.28 ci-dessous) de
changer l’espace fonctionnel sur lequel on minimise. Et en fait, l’occurence de
tel ou tel comportement d´ epend non seulement de la fonctionnelle d’´ energie
qu’on minimise, mais aussi pr´ ecis´ ementde l’ensemble sur lequel on la minimise. Trivialement, e
−t
2 a deux minimiseurs sur [−1, 1] mais n’en a aucun
sur IR. Ceci nous conduit ` a souligner un point qui a ´ et´ e totalement pass´ e
sous silence dans les sections pr´ ec´ edentes. Nous nous sommes attach´ es, avec
beaucoup d’efforts, `
ad ´ eterminer ` a partir du niveau atomique une forme de
densit´ e W ` ai n s ´ erer dans le probl` eme de minimisation (1.21), mais poser rigoureusement ce probl` eme requiert de pr´ eciser l’espace fonctionnel o` u varie la
fonction ϕ (on parle de l’espace variationnel ), ce qui est une vraie question en
soi. Au niveau macroscopique, c’est une question qui n’admet pas de r´ eponse
claire
4 , et donc tout ´ el´ ement d’information qui proviendrait du niveau microscopique serait formidablement utile. Et ce d’autant plus que le probl` eme de
minimisation est, comme on vient de le voir ci-dessus, pr´ ecis´ ement tr` es sensible au choix de l’espace variationnel. Malheureusement, `
a ce jour, on n’a pas
encore compris comment faire. On est donc oblig´ ed ec o n s i d ´ erer une vari´ et´ e
d’espaces fonctionnels diff´ erents.
Exercice 1.27. Que dire du cas ϕ(1) = a>1 dans (1.54) ?
Remarque 1.28. Un autre exemple de d´ ependance forte du probl` eme de minimisation par rapport `
a l’espace fonctionnel est le suivant. Cette fois la
d´ ependance ne tient pas aux conditions aux bords, mais `
al ar ´ egularit´ ed e
la fonction sur tout le domaine, et elle se manifeste non sur l’existence d’un
minimiseur mais sur la valeur de l’infimum. On peut montrer que le probl` eme
4 Il y a autant de d´ ebats sur l’espace variationnel que sur la forme de la fonctionnelle elle-mˆ eme.