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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Encore une fois, nous ne pouvons pas faire l’analyse math´ ematique de
(1.52) et (1.53). Nous allons en fait prendre des probl` emes mod` eles
3 ,m o -
nodimensionnels, qui exhibent les mˆ emes caract´ eristiques, pr´ esentent donc les
mˆ emes difficult´ es, et sur lesquels nous allons comprendre en d´ etail la ph´ enom´ enologie de la situation et examiner les techniques appropri´ ees, surtout du point
de vue math´ ematique et un p e ud up o i n td ev u en u m ´ erique.
1.5.1 Quelques probl` emes mod` eles
Commen¸ cons par la minimisation d’une fonctionnelle du type (1.53), `
as a v o i r
inf
1
0
(ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = ϕ(1) = 0
,
(1.54)
o` u l’on a d´ esign´ ep a rW
1,4 ([0, 1]) l’espace fonctionnel
W
1,4 ([0, 1]) = {ϕ ∈ L
4 ([0, 1]) /ϕ
′ ∈ L
4 ([0, 1])}.
(1.55)
Comme on peut le voir sur la Figure 1.9, le potentiel W (ϕ
′ )=( ϕ
′ (x)
2 −
1)
2 est un potentiel `
a deux puits.P h ´ enom´ enologiquement, on doit penser les
points -1 et 1 qui sont les points o` u sont localis´ es les deux puits comme
les transformations lin´ eaires (les ∇ϕ) qui font passer du r´ eseau de r´ eference
` a deux configurations diff´ erentes d’´ energie minimale, ou autrement dit aux
deux phases du mat´ eriau `
al ’ ´ echelle microscopique.
U n ea n a l y s es i m p l em o n t r eq u e
le probl` eme (1.54) a une infinit´ e de minimiseurs.
En effet, la fonction
ϕ 1 (x)=
x
si 0 ≤ x ≤ 1/2,
1 − x si 1/2 ≤ x ≤ 1
apo u r´ energie z´ ero et v´ erifie bien les conditions aux limites. Ceci montre que
l’infimum (1.54) vaut z´ ero. Il existe en fait une infinit´ e de fonctions donnant
l’´ energie z´ ero (voir de telles fonctions sur la Figure 1.10), d’o` u une infinit´ ed e
minimiseurs.
Remarque 1.25. Rappelons le vocabulaire suivant : l’infimum d’un probl` eme
de minimisation
inf{E(x),x∈ X}
est la valeur du nombre I =inf{E(x),x∈ X} (´ eventuellement = −∞).
Quand I>−∞ et qu’il existe un x 0 ∈ X tel que E(x 0 )=I, l’infimum I
est atteint et est dit un minimum.L ep o i n tx 0 est un minimiseur .
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Encore une fois, nous ne pouvons pas faire l’analyse math´ ematique de
(1.52) et (1.53). Nous allons en fait prendre des probl` emes mod` eles
3 ,m o -
nodimensionnels, qui exhibent les mˆ emes caract´ eristiques, pr´ esentent donc les
mˆ emes difficult´ es, et sur lesquels nous allons comprendre en d´ etail la ph´ enom´ enologie de la situation et examiner les techniques appropri´ ees, surtout du point
de vue math´ ematique et un p e ud up o i n td ev u en u m ´ erique.
1.5.1 Quelques probl` emes mod` eles
Commen¸ cons par la minimisation d’une fonctionnelle du type (1.53), `
as a v o i r
inf
1
0
(ϕ
′ (x)
2 − 1)
2 dx, ϕ ∈ W
1,4 ([0, 1]),ϕ (0) = ϕ(1) = 0
,
(1.54)
o` u l’on a d´ esign´ ep a rW
1,4 ([0, 1]) l’espace fonctionnel
W
1,4 ([0, 1]) = {ϕ ∈ L
4 ([0, 1]) /ϕ
′ ∈ L
4 ([0, 1])}.
(1.55)
Comme on peut le voir sur la Figure 1.9, le potentiel W (ϕ
′ )=( ϕ
′ (x)
2 −
1)
2 est un potentiel `
a deux puits.P h ´ enom´ enologiquement, on doit penser les
points -1 et 1 qui sont les points o` u sont localis´ es les deux puits comme
les transformations lin´ eaires (les ∇ϕ) qui font passer du r´ eseau de r´ eference
` a deux configurations diff´ erentes d’´ energie minimale, ou autrement dit aux
deux phases du mat´ eriau `
al ’ ´ echelle microscopique.
U n ea n a l y s es i m p l em o n t r eq u e
le probl` eme (1.54) a une infinit´ e de minimiseurs.
En effet, la fonction
ϕ 1 (x)=
x
si 0 ≤ x ≤ 1/2,
1 − x si 1/2 ≤ x ≤ 1
apo u r´ energie z´ ero et v´ erifie bien les conditions aux limites. Ceci montre que
l’infimum (1.54) vaut z´ ero. Il existe en fait une infinit´ e de fonctions donnant
l’´ energie z´ ero (voir de telles fonctions sur la Figure 1.10), d’o` u une infinit´ ed e
minimiseurs.
Remarque 1.25. Rappelons le vocabulaire suivant : l’infimum d’un probl` eme
de minimisation
inf{E(x),x∈ X}
est la valeur du nombre I =inf{E(x),x∈ X} (´ eventuellement = −∞).
Quand I>−∞ et qu’il existe un x 0 ∈ X tel que E(x 0 )=I, l’infimum I
est atteint et est dit un minimum.L ep o i n tx 0 est un minimiseur .