1.5 Vers le calcul des variations
25
inf
ϕ∈A
Ω
W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx.
(1.52)
Ce probl` eme est ici repr´ esentatif des bien plus complexes probl` emes de type
(1.21), et au-del` a encore de type (1.42). Il nous arrivera aussi de ne garder
que la d´ ependance en ∇ϕ, pour nous restreindre au cas de l’´ elasticit´ e, et donc
de traiter
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx.
(1.53)
Quelle est la difficult´ e dans les probl` emes (1.52) et (1.53) ? Elle tient en
deux mots : la non convexit´ e de W .
D´ ej` a, quand la fonctionnelle d’´ energie est convexe, un probl` eme de minimisation peut ne pas ˆ etre trivial, au sens o` u il peut ou non admettre un minimiseur (minimiser t
2 ,o ua uc o n t r a i r e ,e
−t sur la droite r´ eelle), mais quand
elle est non convexe, les difficult´ es deviennent terribles.
Pourquoi W est-elle par nature non convexe (sauf dans le cas tr` es simple de
l’´ elasticit´ e lin´ earis´ ee, o` u on est en train de minimiser une “parabole”) ? Pour le
comprendre, il suffit par exemple de regarder la densit´ ed’ ´ energie W que nous
avons construite plus haut en (1.20) et qui provient de l’´ echelle atomique :
W (F (x)) = {´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx et d´ eform´ ep a rF (x)}.
Une telle fonctionnelle n’est g´ en´ eralement pas convexe. En effet, pour un
r´ eseau atomique tridimensionnel, il n’est pas rare qu’il existe plusieurs configurations d’´ energie minimale (plusieurs mailles p´ eriodiques qui minimisent
l’´ energie), et toute application lin´ eaire qui fait passer de la configuration de
r´ ef´ erence ` a l’une d’entre elles sera donc un minimiseur pour W . En langage
m´ ecanique, le passage d’une configuration d’´ energie minimale `
a une autre est
appel´ ee une transition de phase, et l’on voit ainsi se d´ evelopper dans des
mat´ eriaux r´ eels diff´ erentes zones, selon la configuration (la phase)d ur ´ eseau
local. D’ailleurs mˆ eme s’il n’existe qu’une seule configuration d’´ energie minimale, disons un carr´ e en dimension 2, alors les rotations d’angle
π
2
, π,
3π
2
la
changent en elle-mˆ eme est donc il est exclus que le potentiel W soit convexe,
sauf `
aˆ etre constant. En r´ esum´ e, W a plusieurs puits,e te nc o n s ´ equence,
l’´ energie
inf
ϕ∈A
Ω
W (F (x)) dx
admet beaucoup (voire une infinit´ e) de minimiseurs, form´ es de fonctions F (x)
qui vont “visiter” tous les puits. Minimiser une telle ´ energie devient donc une
tˆ ache difficile.
Dans le cas non convexe, 3 situations sont donc possibles
(i) il n’existe pas de minimiseur
(ii) il existe un unique minimiseur
(iii) il existe plusieurs (une infinit´ e de) minimiseurs.
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inf
ϕ∈A
Ω
W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx.
(1.52)
Ce probl` eme est ici repr´ esentatif des bien plus complexes probl` emes de type
(1.21), et au-del` a encore de type (1.42). Il nous arrivera aussi de ne garder
que la d´ ependance en ∇ϕ, pour nous restreindre au cas de l’´ elasticit´ e, et donc
de traiter
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx.
(1.53)
Quelle est la difficult´ e dans les probl` emes (1.52) et (1.53) ? Elle tient en
deux mots : la non convexit´ e de W .
D´ ej` a, quand la fonctionnelle d’´ energie est convexe, un probl` eme de minimisation peut ne pas ˆ etre trivial, au sens o` u il peut ou non admettre un minimiseur (minimiser t
2 ,o ua uc o n t r a i r e ,e
−t sur la droite r´ eelle), mais quand
elle est non convexe, les difficult´ es deviennent terribles.
Pourquoi W est-elle par nature non convexe (sauf dans le cas tr` es simple de
l’´ elasticit´ e lin´ earis´ ee, o` u on est en train de minimiser une “parabole”) ? Pour le
comprendre, il suffit par exemple de regarder la densit´ ed’ ´ energie W que nous
avons construite plus haut en (1.20) et qui provient de l’´ echelle atomique :
W (F (x)) = {´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx et d´ eform´ ep a rF (x)}.
Une telle fonctionnelle n’est g´ en´ eralement pas convexe. En effet, pour un
r´ eseau atomique tridimensionnel, il n’est pas rare qu’il existe plusieurs configurations d’´ energie minimale (plusieurs mailles p´ eriodiques qui minimisent
l’´ energie), et toute application lin´ eaire qui fait passer de la configuration de
r´ ef´ erence ` a l’une d’entre elles sera donc un minimiseur pour W . En langage
m´ ecanique, le passage d’une configuration d’´ energie minimale `
a une autre est
appel´ ee une transition de phase, et l’on voit ainsi se d´ evelopper dans des
mat´ eriaux r´ eels diff´ erentes zones, selon la configuration (la phase)d ur ´ eseau
local. D’ailleurs mˆ eme s’il n’existe qu’une seule configuration d’´ energie minimale, disons un carr´ e en dimension 2, alors les rotations d’angle
π
2
, π,
3π
2
la
changent en elle-mˆ eme est donc il est exclus que le potentiel W soit convexe,
sauf `
aˆ etre constant. En r´ esum´ e, W a plusieurs puits,e te nc o n s ´ equence,
l’´ energie
inf
ϕ∈A
Ω
W (F (x)) dx
admet beaucoup (voire une infinit´ e) de minimiseurs, form´ es de fonctions F (x)
qui vont “visiter” tous les puits. Minimiser une telle ´ energie devient donc une
tˆ ache difficile.
Dans le cas non convexe, 3 situations sont donc possibles
(i) il n’existe pas de minimiseur
(ii) il existe un unique minimiseur
(iii) il existe plusieurs (une infinit´ e de) minimiseurs.