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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Proposition 1.19. Toute suite u n born´ ee dans L
p (Ω), 1
(respectivement la topologie faible-⋆).
Remarque 1.20. Noter que le cas p = 1 est exclu et que le cas p = ∞ requiert
un traitement sp´ ecial. Cette remarque vaudra dans toute la suite.
Remarque 1.21. Cette proposition est en fait la raison d’ˆ etre de la topologie
faible, qui cr´ ee des objets (les limites) en ´ etant moins exigeante sur la notion
de convergence. Charge ensuite au math´ ematicien de montrer que cette limite
faible est ´ eventuellement une limite pour la topologie forte si tel est le cas.
La preuve de cette proposition sera admise. Cependant, la preuve du cas
particulier p = 2 fait l’objet de l’exercice suivant.
Exercice 1.22. On se place sur L
2 (]0, 1[). Soit e k une base hilbertienne de cet
espace. Soit u n une suite de L
2 (]0, 1[) qu’on suppose born´ ee. On d´ ecompose u n
selon la base des e k en u n =
+∞
k=1
u n,k e k o` u, pour chaque n, u n,k ∈ l
2 .M o n t r e r
que pour chaque k, la suite des coefficients u n,k est born´ ee dans R.End´ eduire
qu’` a extraction pr` es, la suite u n converge faiblement.
La derni` ere propri´ et´ e que nous allons mentionner ici est un r´ esultat de
compacit´ e que nous ne sommes pas en mesure de d´ emontrer et que nous
admettrons (voir par exemple la r´ ef´ erence [2] ` a la fin de ce chapitre pour une
d´ emonstration).
Proposition 1.23. dit Th´ eor` eme de Rellich On suppose que le domaine
Ω est un born´ er ´ egulier de IR
N . Alors une suite faiblement convergente dans
H
1 (Ω) est ` ae x t r a c t i o np r ` es fortement convergente dans L
2 (Ω).
Remarque 1.24. Au vu des deux propositions pr´ ec´ edentes, le lecteur peut faire
l’observation suivante. Si une suite de fonctions u n de L
2 (]0, 1[) (par exemple)
est born´ ee, alors une de ses sous suites converge faiblement.Sidepluslasuite
des d´ eriv´ ees u
′
n est born´ ee dans L
2 (]0, 1[), alors une sous suite de u n converge
fortement.
De nombreuses autres propri´ et´ es permettent de relier convergence faible et
convergence forte. Nous ne nous y attarderons pas plus et renvoyons le lecteur
` a la bibliographie de ce chapitre pour une ´ etude plus approfondie.
1.5 Vers le calcul des variations
Muni de l’outil “topologie faible”, abordons l’´ etude d’un probl` eme mod` ele, ` a
savoir le probl` eme (1.43) que nous r´ ecrivons ici, en supposant les donn´ ees f
et g nulles, juste pour comprendre (en d’autres termes, nous cherchons l’´ etat
d’´ equilibre du mat´ eriau sans qu’on ne le soumette `
a aucune force),
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Proposition 1.19. Toute suite u n born´ ee dans L
p (Ω), 1
(respectivement la topologie faible-⋆).
Remarque 1.20. Noter que le cas p = 1 est exclu et que le cas p = ∞ requiert
un traitement sp´ ecial. Cette remarque vaudra dans toute la suite.
Remarque 1.21. Cette proposition est en fait la raison d’ˆ etre de la topologie
faible, qui cr´ ee des objets (les limites) en ´ etant moins exigeante sur la notion
de convergence. Charge ensuite au math´ ematicien de montrer que cette limite
faible est ´ eventuellement une limite pour la topologie forte si tel est le cas.
La preuve de cette proposition sera admise. Cependant, la preuve du cas
particulier p = 2 fait l’objet de l’exercice suivant.
Exercice 1.22. On se place sur L
2 (]0, 1[). Soit e k une base hilbertienne de cet
espace. Soit u n une suite de L
2 (]0, 1[) qu’on suppose born´ ee. On d´ ecompose u n
selon la base des e k en u n =
+∞
k=1
u n,k e k o` u, pour chaque n, u n,k ∈ l
2 .M o n t r e r
que pour chaque k, la suite des coefficients u n,k est born´ ee dans R.End´ eduire
qu’` a extraction pr` es, la suite u n converge faiblement.
La derni` ere propri´ et´ e que nous allons mentionner ici est un r´ esultat de
compacit´ e que nous ne sommes pas en mesure de d´ emontrer et que nous
admettrons (voir par exemple la r´ ef´ erence [2] ` a la fin de ce chapitre pour une
d´ emonstration).
Proposition 1.23. dit Th´ eor` eme de Rellich On suppose que le domaine
Ω est un born´ er ´ egulier de IR
N . Alors une suite faiblement convergente dans
H
1 (Ω) est ` ae x t r a c t i o np r ` es fortement convergente dans L
2 (Ω).
Remarque 1.24. Au vu des deux propositions pr´ ec´ edentes, le lecteur peut faire
l’observation suivante. Si une suite de fonctions u n de L
2 (]0, 1[) (par exemple)
est born´ ee, alors une de ses sous suites converge faiblement.Sidepluslasuite
des d´ eriv´ ees u
′
n est born´ ee dans L
2 (]0, 1[), alors une sous suite de u n converge
fortement.
De nombreuses autres propri´ et´ es permettent de relier convergence faible et
convergence forte. Nous ne nous y attarderons pas plus et renvoyons le lecteur
` a la bibliographie de ce chapitre pour une ´ etude plus approfondie.
1.5 Vers le calcul des variations
Muni de l’outil “topologie faible”, abordons l’´ etude d’un probl` eme mod` ele, ` a
savoir le probl` eme (1.43) que nous r´ ecrivons ici, en supposant les donn´ ees f
et g nulles, juste pour comprendre (en d’autres termes, nous cherchons l’´ etat
d’´ equilibre du mat´ eriau sans qu’on ne le soumette `
a aucune force),