1.4 Introduction `
a la topologie faible
23
ou encore celle de H
1 (Ω), pour Ω ⊂ IR
N .
Nous pouvons aussi d´ efinir la topologie faible sur les espaces L
p ,1≤ p ≤
+∞, en dimension quelconque.
D´ efinition 1.16. Soit Ω un ouvert de IR
N , N ≥ 1.S o i t1 ≤ p<+∞,n o u s
dirons que la suite u n ∈ L
p (Ω) converge faiblement vers u ∈ L
p (Ω) si pour
toute fonction v ∈ L
q (Ω),
1
p
+
1
q
=1,
lim
n−→ +∞
Ω
u n v =
Ω
uv.
(1.48)
Dans le cas p = ∞, il y a une petite nuance : nous dirons qu’une suite
u n ∈ L
∞ (Ω) converge faiblement-⋆ vers u ∈ L
∞ (Ω) si pour toute fonction
v ∈ L
1 (Ω), (1.48) a lieu.
Dans tous les cas, il est commode de noter
u n
n→∞
⇀u ,
(1.49)
pour indiquer la convergence faible, tandis que la convergence forte est d´ enot´ ee
par l’habituel
u n
n→∞
−→ u.
(1.50)
Cette d´ efinition nous permet d’envisager les produits de suite. En effet, le
lecteur sait que si la suite u n converge vers u dans L
p et la suite v n converge
vers v dans L
q ,1≤ p ≤ +∞,
1
p +
1
q = 1, alors la suite u n v n converge dans L
1
vers uv. Ceci se montre par une simple application de l’in´ egalit´ ed eH ¨ older, `
a
savoir
uv L 1 (Ω) ≤≤u L p (Ω) v L q (Ω) ,
(1.51)
pour toute fonction u dans L
p (Ω), v dans L
q (Ω),
1
p
+
1
q
=1.
La proposition suivante, dont la preuve est laiss´ ee au lecteur, montre que
les choses ne sont pas aussi simples pour la topologie faible.
Proposition 1.17. Soit 1 ≤ p ≤ +∞ et q tel que
1
p
+
1
q
=1.
–(i )S iu n converge fortement vers u dans L
p (Ω),e tv n converge faiblement vers v dans L
q (Ω),a l o r su n v n converge faiblement vers uv dans
L
1 (Ω),
– (ii) Si u n converge faiblement (respectivement faiblement-⋆ si p =+∞)
vers u dans L
p (Ω),e tv n converge faiblement vers v dans L
q (Ω),a l o r s
on ne peut rien dire de la convergence du produit u n v n .
Exercice 1.18. Montrer (i) en utilisant l’in´ egalit´ ed eH ¨ older, et donner un
contrexemple pour (ii).
Enfin, une propri´ et´ e essentielle de la topologie faible est la suivante
a la topologie faible
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ou encore celle de H
1 (Ω), pour Ω ⊂ IR
N .
Nous pouvons aussi d´ efinir la topologie faible sur les espaces L
p ,1≤ p ≤
+∞, en dimension quelconque.
D´ efinition 1.16. Soit Ω un ouvert de IR
N , N ≥ 1.S o i t1 ≤ p<+∞,n o u s
dirons que la suite u n ∈ L
p (Ω) converge faiblement vers u ∈ L
p (Ω) si pour
toute fonction v ∈ L
q (Ω),
1
p
+
1
q
=1,
lim
n−→ +∞
Ω
u n v =
Ω
uv.
(1.48)
Dans le cas p = ∞, il y a une petite nuance : nous dirons qu’une suite
u n ∈ L
∞ (Ω) converge faiblement-⋆ vers u ∈ L
∞ (Ω) si pour toute fonction
v ∈ L
1 (Ω), (1.48) a lieu.
Dans tous les cas, il est commode de noter
u n
n→∞
⇀u ,
(1.49)
pour indiquer la convergence faible, tandis que la convergence forte est d´ enot´ ee
par l’habituel
u n
n→∞
−→ u.
(1.50)
Cette d´ efinition nous permet d’envisager les produits de suite. En effet, le
lecteur sait que si la suite u n converge vers u dans L
p et la suite v n converge
vers v dans L
q ,1≤ p ≤ +∞,
1
p +
1
q = 1, alors la suite u n v n converge dans L
1
vers uv. Ceci se montre par une simple application de l’in´ egalit´ ed eH ¨ older, `
a
savoir
uv L 1 (Ω) ≤≤u L p (Ω) v L q (Ω) ,
(1.51)
pour toute fonction u dans L
p (Ω), v dans L
q (Ω),
1
p
+
1
q
=1.
La proposition suivante, dont la preuve est laiss´ ee au lecteur, montre que
les choses ne sont pas aussi simples pour la topologie faible.
Proposition 1.17. Soit 1 ≤ p ≤ +∞ et q tel que
1
p
+
1
q
=1.
–(i )S iu n converge fortement vers u dans L
p (Ω),e tv n converge faiblement vers v dans L
q (Ω),a l o r su n v n converge faiblement vers uv dans
L
1 (Ω),
– (ii) Si u n converge faiblement (respectivement faiblement-⋆ si p =+∞)
vers u dans L
p (Ω),e tv n converge faiblement vers v dans L
q (Ω),a l o r s
on ne peut rien dire de la convergence du produit u n v n .
Exercice 1.18. Montrer (i) en utilisant l’in´ egalit´ ed eH ¨ older, et donner un
contrexemple pour (ii).
Enfin, une propri´ et´ e essentielle de la topologie faible est la suivante