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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
que (1.44) est vraie avec u =0pourtoutefonctionv de classe C
1 par exemple.
On proc` ede ensuite par densit´ epo u r´ etendre le r´ esultat ` a toutes les fonctions
de L
2 (]0, 1[).
Exercice 1.15. Formaliser le raisonnement pr´ ec´ edent.
Il est clair que pour autant cette suite ne converge pas vers z´ ero pour
la topologie habituelle de L
2 (]0, 1[), celle d´ efinie par : u n tend vers u si et
seulement si
lim
n−→ 0
1
0
|u n − u|
2 = 0
(1.46)
(pour diff´ erencier, on parlera souvent de convergence forte dans ce cas). En
effet,
1
0
|u n − u|
2 =
1
0
sin
2 (2πnx)=
1
0
(
1
2
−
1
2
cos(4πnx)) =
1
2
.
En revanche, c’est une simple application de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
que de montrer que si une suite u n converge vers u fortement, alors elle
converge faiblement. La notion de convergence faible (comme son nom l’indique) est donc une notion plus faible que celle de convergence forte.
D` es maintenant, on peut comprendre pourquoi topologie faible et probl` emes ` a plusieurs ´ echelles sont li´ es. Si la suite u n d´ efinie par (1.45) est un courant
´ electrique, il s’agit d’un courant qui oscille tr` es rapidement. En le mesurant
(c’est le rˆ ole de la fonction v qui figure l’appareil de mesure, lequel n’est pas
infiniment pr´ ecis, donc a une “largeur” (le support de v)), on ne voit asymptotiquement qu’un signal nul (la fonction limite faible u = 0). La fonction
oscille tellement qu’en moyenne (ou, plus trivialement, v u ed el o i n ) elle est
nulle. Dit en d’autres termes, elle est non nulle quand on la regarde avec un
“microscope” (un appareil de mesure tr` es pr´ ecis, ou en termes math´ ematiques
avec la topologie forte), mais nulle quand on la regarde “macroscopiquement”
(en termes math´ ematiques avec la topologie faible).
Encore dit diff´ eremment, la limite faible u 0 d’une suite de fonctions u ε
d´ efinit le comportement moyen (macroscopique) de la suite.
De la mˆ eme fa¸ con que nous avons d´ efini la topologie faible sur L
2 (]0, 1[),
nous pouvons d´ efinir la topologie faible sur un espace de Hilbert V de produit
scalaire (·, ·)p a r
u n tend faiblement vers u dans V si (u n ,v)
n−→ +∞
−→ (u, v) ∀v ∈ V. (1.47)
Ceci permet notamment de d´ efinir par exemple la topologie faible de L
2 (Ω)
pour Ω ⊂ IR
N (par la mˆ eme d´ efinition que (1.44)), ou celle de H
1 (0, 1) :
u n tend faiblement vers u dans H
1 (0, 1) si
1
0
(u
′
n v
′ + u n v)
n−→ +∞
−→
1
0
(u
′ v
′ + uv) ∀v ∈ H
1 (0, 1),
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
que (1.44) est vraie avec u =0pourtoutefonctionv de classe C
1 par exemple.
On proc` ede ensuite par densit´ epo u r´ etendre le r´ esultat ` a toutes les fonctions
de L
2 (]0, 1[).
Exercice 1.15. Formaliser le raisonnement pr´ ec´ edent.
Il est clair que pour autant cette suite ne converge pas vers z´ ero pour
la topologie habituelle de L
2 (]0, 1[), celle d´ efinie par : u n tend vers u si et
seulement si
lim
n−→ 0
1
0
|u n − u|
2 = 0
(1.46)
(pour diff´ erencier, on parlera souvent de convergence forte dans ce cas). En
effet,
1
0
|u n − u|
2 =
1
0
sin
2 (2πnx)=
1
0
(
1
2
−
1
2
cos(4πnx)) =
1
2
.
En revanche, c’est une simple application de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
que de montrer que si une suite u n converge vers u fortement, alors elle
converge faiblement. La notion de convergence faible (comme son nom l’indique) est donc une notion plus faible que celle de convergence forte.
D` es maintenant, on peut comprendre pourquoi topologie faible et probl` emes ` a plusieurs ´ echelles sont li´ es. Si la suite u n d´ efinie par (1.45) est un courant
´ electrique, il s’agit d’un courant qui oscille tr` es rapidement. En le mesurant
(c’est le rˆ ole de la fonction v qui figure l’appareil de mesure, lequel n’est pas
infiniment pr´ ecis, donc a une “largeur” (le support de v)), on ne voit asymptotiquement qu’un signal nul (la fonction limite faible u = 0). La fonction
oscille tellement qu’en moyenne (ou, plus trivialement, v u ed el o i n ) elle est
nulle. Dit en d’autres termes, elle est non nulle quand on la regarde avec un
“microscope” (un appareil de mesure tr` es pr´ ecis, ou en termes math´ ematiques
avec la topologie forte), mais nulle quand on la regarde “macroscopiquement”
(en termes math´ ematiques avec la topologie faible).
Encore dit diff´ eremment, la limite faible u 0 d’une suite de fonctions u ε
d´ efinit le comportement moyen (macroscopique) de la suite.
De la mˆ eme fa¸ con que nous avons d´ efini la topologie faible sur L
2 (]0, 1[),
nous pouvons d´ efinir la topologie faible sur un espace de Hilbert V de produit
scalaire (·, ·)p a r
u n tend faiblement vers u dans V si (u n ,v)
n−→ +∞
−→ (u, v) ∀v ∈ V. (1.47)
Ceci permet notamment de d´ efinir par exemple la topologie faible de L
2 (Ω)
pour Ω ⊂ IR
N (par la mˆ eme d´ efinition que (1.44)), ou celle de H
1 (0, 1) :
u n tend faiblement vers u dans H
1 (0, 1) si
1
0
(u
′
n v
′ + u n v)
n−→ +∞
−→
1
0
(u
′ v
′ + uv) ∀v ∈ H
1 (0, 1),