1.4 Introduction `
a la topologie faible
21
cela des strat´ egies automatiques que nous n’exposerons pas ici. De mˆ eme,
la partition du domaine Ω en les parties Ω reg et Ω sing pourra ´ evoluer au
cours des it´ erations selon les inhomog´ en´ eit´ es constat´ ees sur ϕ
k . Que le lecteur
retienne simplement que la partie sp´ ecifiquement de nature multi´ echelle du
travail est maintenant connue de lui. Il ne reste apr` es que des techniques
standard de calcul scientifique.
Cependant, un point capital demeure. Bien qu’on sache effectivement attaquer en pratique la minimisation du probl` eme (1.42), de nombreux progr` es
restent ` af a i r e ,notamment car on ne dispose pas ` a ce jour d’une analyse
num´ erique du probl` eme (1.42), et ce, d’abord, parce qu’on ne dispose pas non
plus d’une analyse math´ ematique. Certes, de r´ ecents efforts de recherche dans
ce domaine visent ` a combler ce manque, mais dans l’´ etat actuel des connaissances, on a peu d’´ el´ ements d’analyse, et donc on paie un in´ evitable prix dans
la technique num´ erique.
Faute de pouvoir faire l’analyse de (1.42), ou de (1.21), on peut donner
quelques ´ el´ ements d’analyse pour un probl` eme purement macroscopique du
type
inf
ϕ∈A
Ω
W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ.
(1.43)
Il est clair qu’un probl` eme comme (1.42) ou mˆ eme sa forme simplifi´ ee (1.21)
(pour laquelle Ω = Ω reg ), contient au moins les difficult´ es math´ ematiques du
probl` eme (1.43). Et nous allons voir que ces difficult´ es sont ´ enormes.
Les deux prochaines sections sont consacr´ ees ` al ’ ´ etude math´ ematique (introductive) des probl` emes de type (1.43). La Section 1.5 peut ˆ etre omise en
premi` ere lecture, notamment par le lecteur qui n’est pas un “fana maths”. La
lecture de la Section 1.4 est en revanche indispensable car on y pr´ esente un
outil capital pour l’´ etude des probl` emes multi´ echelles, la topologie faible.
1.4 Introduction `
a la topologie faible
Nous commen¸ cons par d´ efinir la notion de topologie faible sur L
2 (]0, 1[), et
nous verrons des extensions ` a peine plus compliqu´ ees plus tard.
D´ efinition 1.14. Une suite u n de fonctions de L
2 (]0, 1[) est dite converger
faiblement vers la fonction u ∈ L
2 (]0, 1[) si pour toute fonction v ∈ L
2 (]0, 1[),
on a
lim
n−→ +∞
1
0
u n v =
1
0
uv.
(1.44)
L’exemple le plus simple est celui de la suite
u n (x)=sin (2πnx)
(1.45)
qui converge faiblement vers la fonction nulle sur le segment ]0, 1[. Le lecteur
sait en effet que par une simple int´ egration par parties, il est facile de montrer
a la topologie faible
21
cela des strat´ egies automatiques que nous n’exposerons pas ici. De mˆ eme,
la partition du domaine Ω en les parties Ω reg et Ω sing pourra ´ evoluer au
cours des it´ erations selon les inhomog´ en´ eit´ es constat´ ees sur ϕ
k . Que le lecteur
retienne simplement que la partie sp´ ecifiquement de nature multi´ echelle du
travail est maintenant connue de lui. Il ne reste apr` es que des techniques
standard de calcul scientifique.
Cependant, un point capital demeure. Bien qu’on sache effectivement attaquer en pratique la minimisation du probl` eme (1.42), de nombreux progr` es
restent ` af a i r e ,notamment car on ne dispose pas ` a ce jour d’une analyse
num´ erique du probl` eme (1.42), et ce, d’abord, parce qu’on ne dispose pas non
plus d’une analyse math´ ematique. Certes, de r´ ecents efforts de recherche dans
ce domaine visent ` a combler ce manque, mais dans l’´ etat actuel des connaissances, on a peu d’´ el´ ements d’analyse, et donc on paie un in´ evitable prix dans
la technique num´ erique.
Faute de pouvoir faire l’analyse de (1.42), ou de (1.21), on peut donner
quelques ´ el´ ements d’analyse pour un probl` eme purement macroscopique du
type
inf
ϕ∈A
Ω
W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ.
(1.43)
Il est clair qu’un probl` eme comme (1.42) ou mˆ eme sa forme simplifi´ ee (1.21)
(pour laquelle Ω = Ω reg ), contient au moins les difficult´ es math´ ematiques du
probl` eme (1.43). Et nous allons voir que ces difficult´ es sont ´ enormes.
Les deux prochaines sections sont consacr´ ees ` al ’ ´ etude math´ ematique (introductive) des probl` emes de type (1.43). La Section 1.5 peut ˆ etre omise en
premi` ere lecture, notamment par le lecteur qui n’est pas un “fana maths”. La
lecture de la Section 1.4 est en revanche indispensable car on y pr´ esente un
outil capital pour l’´ etude des probl` emes multi´ echelles, la topologie faible.
1.4 Introduction `
a la topologie faible
Nous commen¸ cons par d´ efinir la notion de topologie faible sur L
2 (]0, 1[), et
nous verrons des extensions ` a peine plus compliqu´ ees plus tard.
D´ efinition 1.14. Une suite u n de fonctions de L
2 (]0, 1[) est dite converger
faiblement vers la fonction u ∈ L
2 (]0, 1[) si pour toute fonction v ∈ L
2 (]0, 1[),
on a
lim
n−→ +∞
1
0
u n v =
1
0
uv.
(1.44)
L’exemple le plus simple est celui de la suite
u n (x)=sin (2πnx)
(1.45)
qui converge faiblement vers la fonction nulle sur le segment ]0, 1[. Le lecteur
sait en effet que par une simple int´ egration par parties, il est facile de montrer