1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
19
Pour calculer ces deux s´ eries de la forme
k∈Z Z 2
f (k)a um e m b r ed ed r o i t ed e
(1.27) et (1.28), une mani` ere de proc´ eder est de les remplacer par des sommes
finies
k ∈ Z Z
2
k ∈ B rc (0)
f (k)o `
u r c est un rayon de coupure.
Zone de faibles gradients:
le modèle macroscopique est suffisant
le modèle microscopique est nécessaire
Zone de forts gradients:
Fig. 1.7. Choix des zones
1.3.3 Utilisation de E(ϕ)
A ce stade, nous savons donc, pour un maillage donn´ e et une discr´ etisation de
ϕ donn´ ee, calculer l’´ energie m´ ecanique E(ϕ) de la transformation ϕ. Le reste
est une affaire d’algorithme d’optimisation : il faut lancer une minimisation
de l’´ energie m´ ecanique donn´ ee par (1.29), i.e. r´ esoudre
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
inf
E(ϕ) −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ
ϕ ∈A
,
E(ϕ)=
1
2
Ωreg
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk) dx
+
1
2
Ωsing
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx
(1.42)
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Pour calculer ces deux s´ eries de la forme
k∈Z Z 2
f (k)a um e m b r ed ed r o i t ed e
(1.27) et (1.28), une mani` ere de proc´ eder est de les remplacer par des sommes
finies
k ∈ Z Z
2
k ∈ B rc (0)
f (k)o `
u r c est un rayon de coupure.
Zone de faibles gradients:
le modèle macroscopique est suffisant
le modèle microscopique est nécessaire
Zone de forts gradients:
Fig. 1.7. Choix des zones
1.3.3 Utilisation de E(ϕ)
A ce stade, nous savons donc, pour un maillage donn´ e et une discr´ etisation de
ϕ donn´ ee, calculer l’´ energie m´ ecanique E(ϕ) de la transformation ϕ. Le reste
est une affaire d’algorithme d’optimisation : il faut lancer une minimisation
de l’´ energie m´ ecanique donn´ ee par (1.29), i.e. r´ esoudre
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
inf
E(ϕ) −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ
ϕ ∈A
,
E(ϕ)=
1
2
Ωreg
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk) dx
+
1
2
Ωsing
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx
(1.42)