18
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ϕ
α (x)=
i
ϕ
α
i φ i (x),
o` ul e sφ i sont les ´ el´ ements finis associ´ es au maillage T .
Corr´ elativement, le gradient de d´ eformation est discr´ etis´ e selon les ´ el´ ements
P0 sur les triangles, not´ es ψ i ,
∂ϕ
α
∂x β
(x)=
l
g
α,β
l
ψ l (x),α=1, 2 β =1, 2
Par d´ efinition, ψ l est la fonction constante de valeur un sur le triangle T l .
D´ esignons maintenant par ξ j les noeuds de quadrature associ´ es ` al at r i a n -
gulation effectu´ ee. Cela signifie que, de fa¸ con g´ en´ erale, une int´ egrale
Ω
ψ(x) dx
(1.39)
d’une fonction arbitraire ψ,pasn ´ ec´ essairement dans l’espace d’´ el´ ements finis,
sera approch´ ee par
Ω
ψ(x) dx ≈
j
ω j ψ(ξ j )
(1.40)
o` ul e sω j sont les poids de la formule de quadrature. Nous prenons ici la
formule de quadrature la plus simple qui consiste `
a choisir un seul noeud dans
chaque triangle T j ,p r ´ ecis´ ement son barycentre ξ j ,e t` a lui affecter le poids
ω j = |T j |. Nous utilisons donc la formule de quadrature
Ω
ψ(x) dx ≈
ξj barycentre de Tj
|T j | ψ(ξ j )
(1.41)
L’´ evaluation de l’int´ egrale (1.29) se fera par cette formule de quadrature,
et tout se ram` ene alors au calcul des
W (ϕ)(ξ j ) quand ϕ est dans l’espace d’´ el´ ements finis P 1
pour pouvoir ensuite l’inclure dans une boucle de minimisation sur ϕ.
Suivant que ζ j et les ζ j + εn appartiennent `
a Ω reg ou Ω sing (voir la Figure 1.8), on choisit respectivement la formule (1.27), d’o` u
W (ϕ)(ξ j )=
1
2
k
V (∇ϕ(ξ j ) · εk),
ou la formule (1.28) d’o` u
W (ϕ)(ξ j )=
1
2
k
V (ϕ(ξ j + εk) − ϕ(ξ j )).
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ϕ
α (x)=
i
ϕ
α
i φ i (x),
o` ul e sφ i sont les ´ el´ ements finis associ´ es au maillage T .
Corr´ elativement, le gradient de d´ eformation est discr´ etis´ e selon les ´ el´ ements
P0 sur les triangles, not´ es ψ i ,
∂ϕ
α
∂x β
(x)=
l
g
α,β
l
ψ l (x),α=1, 2 β =1, 2
Par d´ efinition, ψ l est la fonction constante de valeur un sur le triangle T l .
D´ esignons maintenant par ξ j les noeuds de quadrature associ´ es ` al at r i a n -
gulation effectu´ ee. Cela signifie que, de fa¸ con g´ en´ erale, une int´ egrale
Ω
ψ(x) dx
(1.39)
d’une fonction arbitraire ψ,pasn ´ ec´ essairement dans l’espace d’´ el´ ements finis,
sera approch´ ee par
Ω
ψ(x) dx ≈
j
ω j ψ(ξ j )
(1.40)
o` ul e sω j sont les poids de la formule de quadrature. Nous prenons ici la
formule de quadrature la plus simple qui consiste `
a choisir un seul noeud dans
chaque triangle T j ,p r ´ ecis´ ement son barycentre ξ j ,e t` a lui affecter le poids
ω j = |T j |. Nous utilisons donc la formule de quadrature
Ω
ψ(x) dx ≈
ξj barycentre de Tj
|T j | ψ(ξ j )
(1.41)
L’´ evaluation de l’int´ egrale (1.29) se fera par cette formule de quadrature,
et tout se ram` ene alors au calcul des
W (ϕ)(ξ j ) quand ϕ est dans l’espace d’´ el´ ements finis P 1
pour pouvoir ensuite l’inclure dans une boucle de minimisation sur ϕ.
Suivant que ζ j et les ζ j + εn appartiennent `
a Ω reg ou Ω sing (voir la Figure 1.8), on choisit respectivement la formule (1.27), d’o` u
W (ϕ)(ξ j )=
1
2
k
V (∇ϕ(ξ j ) · εk),
ou la formule (1.28) d’o` u
W (ϕ)(ξ j )=
1
2
k
V (ϕ(ξ j + εk) − ϕ(ξ j )).