1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
17
Trouver u N ∈ V
1
N telle que ∀v N ∈ V
1
N ,
Ω
∇u N ·∇v N =
Ω
fv N .
(1.36)
L’´ etape suivante est de transformer cette formulation discr` ete en une ´ equation
alg´ ebrique. Il est en effet clair que la traduction de (1.36) en termes des coefficients u
k de la fonction solution u N est une ´ egalit´ ea l g ´ ebrique AU = B,
o` ul am a t r i c eA est associ´ ee ` al ar e p r ´ esentation de la forme bilin´ eaire
(u N ,v N ) −→
Ω
∇u N ·∇v N dans la base de V
1
N ,o `
u B est le vecteur colonne
des
Ω
fφ j et o` u U est le vecteur colonne des u
k
N .
Finalement, on r´ esout cette ´ equation alg´ ebrique par un algorithme de
r´ esolution de syst` eme lin´ eaire et on obtient l’approximation recherch´ ee u N
de la solution u du probl` eme original (1.34) :
u N =
k
u
k
N φ k (x).
De la mˆ eme mani` ere, on peut avec cette m´ ethode attaquer un probl` eme de
minimisation comme celui qui nous int´ eresse. Par exemple, on peut rechercher
l’approximation de
inf
1
2
Ω
|∇u|
2 −
Ω
fu, u ∈ H
1
0 (Ω)
(1.37)
pour f fix´ ee dans L
2 (Ω), probl` eme qui est rigoureusement ´ equivalent `
al a
r´ esolution de (1.34). On approche alors ce probl` eme par
inf
1
2
Ω
|∇u N |
2 −
Ω
fu N ,u N ∈ V
1
N
(1.38)
ce qui est encore ´ equivalent `
a la formulation faible discr` ete donn´ ee ci-dessus.
Pour que la solution discr` ete ainsi obtenue par l’une ou l’autre des voies
(c’est la mˆ eme) soit une approximation correcte et asymptotiquement exacte
(quand le param` etre de taille caract´ eristique du maillage tend vers 0) de
la solution exacte u du probl` eme de d´ epart, il faut certaines propri´ et´ es
math´ ematiques de ce probl` eme. Ces propri´ et´ es sont effectivement v´ erifi´ ees
par (1.34) et (1.37). On admettra qu’elles le sont aussi pour notre probl` eme
de m´ ecanique. Il faut aussi pour le maillage de bonnes propri´ et´ es de r´ egularit´ e
et d’homog´ en´ eit´ e(relativ es` a la forme et la taille des triangles, ` a leur recollage
mutuel). Nous admettrons que notre maillage poss` e d ed et e l l e sb o n n e sp r o -
pri´ et´ es. Nous pouvons donc appliquer la discr´ etisation ´ el´ ements finis ` an o t r e
probl` eme de minimisation (sous la forme (1.37)). Concentrons-nous alors sur
les aspects multi´ echelles.
Notons (T j )lesdiff ´ erents triangles du maillage, et discr´ etisons la d´ eformation ϕ par ´ el´ ements finis P1. Chaque coordonn´ ee ϕ
α de ϕ, α =1 , 2s e
d´ ecompose donc selon
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Trouver u N ∈ V
1
N telle que ∀v N ∈ V
1
N ,
Ω
∇u N ·∇v N =
Ω
fv N .
(1.36)
L’´ etape suivante est de transformer cette formulation discr` ete en une ´ equation
alg´ ebrique. Il est en effet clair que la traduction de (1.36) en termes des coefficients u
k de la fonction solution u N est une ´ egalit´ ea l g ´ ebrique AU = B,
o` ul am a t r i c eA est associ´ ee ` al ar e p r ´ esentation de la forme bilin´ eaire
(u N ,v N ) −→
Ω
∇u N ·∇v N dans la base de V
1
N ,o `
u B est le vecteur colonne
des
Ω
fφ j et o` u U est le vecteur colonne des u
k
N .
Finalement, on r´ esout cette ´ equation alg´ ebrique par un algorithme de
r´ esolution de syst` eme lin´ eaire et on obtient l’approximation recherch´ ee u N
de la solution u du probl` eme original (1.34) :
u N =
k
u
k
N φ k (x).
De la mˆ eme mani` ere, on peut avec cette m´ ethode attaquer un probl` eme de
minimisation comme celui qui nous int´ eresse. Par exemple, on peut rechercher
l’approximation de
inf
1
2
Ω
|∇u|
2 −
Ω
fu, u ∈ H
1
0 (Ω)
(1.37)
pour f fix´ ee dans L
2 (Ω), probl` eme qui est rigoureusement ´ equivalent `
al a
r´ esolution de (1.34). On approche alors ce probl` eme par
inf
1
2
Ω
|∇u N |
2 −
Ω
fu N ,u N ∈ V
1
N
(1.38)
ce qui est encore ´ equivalent `
a la formulation faible discr` ete donn´ ee ci-dessus.
Pour que la solution discr` ete ainsi obtenue par l’une ou l’autre des voies
(c’est la mˆ eme) soit une approximation correcte et asymptotiquement exacte
(quand le param` etre de taille caract´ eristique du maillage tend vers 0) de
la solution exacte u du probl` eme de d´ epart, il faut certaines propri´ et´ es
math´ ematiques de ce probl` eme. Ces propri´ et´ es sont effectivement v´ erifi´ ees
par (1.34) et (1.37). On admettra qu’elles le sont aussi pour notre probl` eme
de m´ ecanique. Il faut aussi pour le maillage de bonnes propri´ et´ es de r´ egularit´ e
et d’homog´ en´ eit´ e(relativ es` a la forme et la taille des triangles, ` a leur recollage
mutuel). Nous admettrons que notre maillage poss` e d ed et e l l e sb o n n e sp r o -
pri´ et´ es. Nous pouvons donc appliquer la discr´ etisation ´ el´ ements finis ` an o t r e
probl` eme de minimisation (sous la forme (1.37)). Concentrons-nous alors sur
les aspects multi´ echelles.
Notons (T j )lesdiff ´ erents triangles du maillage, et discr´ etisons la d´ eformation ϕ par ´ el´ ements finis P1. Chaque coordonn´ ee ϕ
α de ϕ, α =1 , 2s e
d´ ecompose donc selon