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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ces maillages, nous renvoyons ` a la bibliographie. Nous rappelons seulement ici
quelques notions de base sur la m´ ethode des ´ el´ ements finis.
Un maillage r´ egulier d’un domaine ´ etant donn´ e, on peut consid´ erer l’approximation ´ el´ ements finis d’une fonction qui consiste `
a approcher cette fonction
par une combinaison lin´ eaire de fonctions de base. Ces fonctions de base sont
d´ ependantes du maillage en ce qu’elles engendrent un sous espace vectoriel de
dimension finie form´ e des fonctions polynˆ omiales par maille. Ainsi, l’approximation dite P0 consiste `
a approcher l’espace L
2 (Ω) par l’espace de dimension
fini des fonctions constantes par maille (polynˆ ome de degr´ ez ´ ero par maille,
d’o` u l’appellation P0)
V
0
N = {u ∈ L
2 (Ω),u=
j
u
j ψ j (x)}
(1.30)
o` u
ψ j =
= 1 sur le triangle T j
= 0 ailleurs.
(1.31)
Ici, la dimension N est bien sˆ ur le nombre de triangles dans le maillage.
De mˆ eme, l’approximation P1 consiste `
a choisir l’espace de dimension finie
des polynˆ omes de degr´ e 1 par maille triangulaire. On en construit une base
en consid´ erant les noeuds y i de la triangulation (les sommets des triangles) et
les fonctions “pyramidales”, lin´ eaires par morceau
φ k =
=1a unoeud y k
= 0 en tous les autres noeuds.
(1.32)
L’espace de discr´ etisation est alors (par exemple en se restreignant aux
noeuds strictement int´ erieurs ` a Ω ce qui a pour effet de ne consid´ erer que les
fonctions nulles en l’approximation polygˆ onale ∂Ω h du bord ∂Ω)
V
1
N = {u ∈ H
1
0 (Ω h ),u=
k
u
k φ k (x)}.
(1.33)
Supposons alors que le probl` eme ` ar ´ esoudre est une ´ equation aux d´ eriv´ ees
partielles sur le domaine Ω du type
−∆u = f
u| ∂Ω =0
(1.34)
pour une certaine fonction f ∈ L
2 (Ω).
On en r´ ealise la formulation faible, aussi dite formulation variationnelle,
Trouver u ∈ H
1
0 (Ω) telle que ∀v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
∇u ·∇v =
Ω
fv.
(1.35)
On approche alors cette formulation faible par la formulation faible discr` ete
(ou formulation variationnelle discr` ete)
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
ces maillages, nous renvoyons ` a la bibliographie. Nous rappelons seulement ici
quelques notions de base sur la m´ ethode des ´ el´ ements finis.
Un maillage r´ egulier d’un domaine ´ etant donn´ e, on peut consid´ erer l’approximation ´ el´ ements finis d’une fonction qui consiste `
a approcher cette fonction
par une combinaison lin´ eaire de fonctions de base. Ces fonctions de base sont
d´ ependantes du maillage en ce qu’elles engendrent un sous espace vectoriel de
dimension finie form´ e des fonctions polynˆ omiales par maille. Ainsi, l’approximation dite P0 consiste `
a approcher l’espace L
2 (Ω) par l’espace de dimension
fini des fonctions constantes par maille (polynˆ ome de degr´ ez ´ ero par maille,
d’o` u l’appellation P0)
V
0
N = {u ∈ L
2 (Ω),u=
j
u
j ψ j (x)}
(1.30)
o` u
ψ j =
= 1 sur le triangle T j
= 0 ailleurs.
(1.31)
Ici, la dimension N est bien sˆ ur le nombre de triangles dans le maillage.
De mˆ eme, l’approximation P1 consiste `
a choisir l’espace de dimension finie
des polynˆ omes de degr´ e 1 par maille triangulaire. On en construit une base
en consid´ erant les noeuds y i de la triangulation (les sommets des triangles) et
les fonctions “pyramidales”, lin´ eaires par morceau
φ k =
=1a unoeud y k
= 0 en tous les autres noeuds.
(1.32)
L’espace de discr´ etisation est alors (par exemple en se restreignant aux
noeuds strictement int´ erieurs ` a Ω ce qui a pour effet de ne consid´ erer que les
fonctions nulles en l’approximation polygˆ onale ∂Ω h du bord ∂Ω)
V
1
N = {u ∈ H
1
0 (Ω h ),u=
k
u
k φ k (x)}.
(1.33)
Supposons alors que le probl` eme ` ar ´ esoudre est une ´ equation aux d´ eriv´ ees
partielles sur le domaine Ω du type
−∆u = f
u| ∂Ω =0
(1.34)
pour une certaine fonction f ∈ L
2 (Ω).
On en r´ ealise la formulation faible, aussi dite formulation variationnelle,
Trouver u ∈ H
1
0 (Ω) telle que ∀v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
∇u ·∇v =
Ω
fv.
(1.35)
On approche alors cette formulation faible par la formulation faible discr` ete
(ou formulation variationnelle discr` ete)