1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
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petit param` etre ε tend vers z´ ero) et pratique num´ erique (o` ul em ˆ eme petit
param` etre est petit mais non nul) dans la suite de ce cours.
L’´ energie totale du mat´ eriau d´ eform´ ep a rϕ sera la somme des densit´ es de
type (1.27) et (1.28) selon les zones :
E(ϕ)=
1
2
Ωreg
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk) dx
+
1
2
Ωsing
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx. (1.29)
Remarque 1.12. Bien noter que dans ce mod` ele, les zones Ω reg et Ω sing
d´ ependent de la fonction ϕ.Onned ´ etaille d’ailleurs pas cette d´ ependance (on
dit seulement de fa¸ con floue que Ω reg est la zone o` u ϕ est “assez r´ eguli` ere”).
L’´ etat de l’art n’est encore pas clair sur ce point. Il s’agit quoi qu’il en soit
d’un mod` ele hautement non lin´ eaire, difficile ` a mettre en oeuvre quand les
zones Ω reg et Ω sing ne sont pas fix´ ees a priori.
Il est maintenant temps de voir comment on proc` e d ed a n sl as i m u l a t i o n
num´ erique pour calculer E(ϕ) et pour appliquer le traitement ad´ equat suivant
la zone o` us et r o u v el ep o i n tc o u r a n tx.
Zone macroscopique
Couronnes (modèle microscopique)
Fig. 1.6. On traite diff´ eremment les diff´ erentes zones : dans la zone gris´ ee centrale
on s’attend `
a une d´ eformation irr´ eguli` ere ; dans une couronne autour, on s’attend ` a
une d´ eformation r´ eguli` ere. Dans une zone p´ eriph´ erique plus large, o` ulad ´ eformation
e s tt o u t` a fait standard, on peut mˆ eme envisager, par souci d’´ economie, d’utiliser
une relation de fermeture du type (1.2).
1.3.2 La discr´ etisation
R´ ealisons d’abord une triangulation T du domaine Ω, au sens des triangulations r´ eguli` eres des maillages des ´ el´ ements finis. Pour des notions de base sur
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petit param` etre ε tend vers z´ ero) et pratique num´ erique (o` ul em ˆ eme petit
param` etre est petit mais non nul) dans la suite de ce cours.
L’´ energie totale du mat´ eriau d´ eform´ ep a rϕ sera la somme des densit´ es de
type (1.27) et (1.28) selon les zones :
E(ϕ)=
1
2
Ωreg
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk) dx
+
1
2
Ωsing
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx. (1.29)
Remarque 1.12. Bien noter que dans ce mod` ele, les zones Ω reg et Ω sing
d´ ependent de la fonction ϕ.Onned ´ etaille d’ailleurs pas cette d´ ependance (on
dit seulement de fa¸ con floue que Ω reg est la zone o` u ϕ est “assez r´ eguli` ere”).
L’´ etat de l’art n’est encore pas clair sur ce point. Il s’agit quoi qu’il en soit
d’un mod` ele hautement non lin´ eaire, difficile ` a mettre en oeuvre quand les
zones Ω reg et Ω sing ne sont pas fix´ ees a priori.
Il est maintenant temps de voir comment on proc` e d ed a n sl as i m u l a t i o n
num´ erique pour calculer E(ϕ) et pour appliquer le traitement ad´ equat suivant
la zone o` us et r o u v el ep o i n tc o u r a n tx.
Zone macroscopique
Couronnes (modèle microscopique)
Fig. 1.6. On traite diff´ eremment les diff´ erentes zones : dans la zone gris´ ee centrale
on s’attend `
a une d´ eformation irr´ eguli` ere ; dans une couronne autour, on s’attend ` a
une d´ eformation r´ eguli` ere. Dans une zone p´ eriph´ erique plus large, o` ulad ´ eformation
e s tt o u t` a fait standard, on peut mˆ eme envisager, par souci d’´ economie, d’utiliser
une relation de fermeture du type (1.2).
1.3.2 La discr´ etisation
R´ ealisons d’abord une triangulation T du domaine Ω, au sens des triangulations r´ eguli` eres des maillages des ´ el´ ements finis. Pour des notions de base sur