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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
o` uonanot´ e W la densit´ ed’´ energie. Un point important est `
a noter ici. Comme
on a pour objectif d’attaquer les situations difficiles, on ne se restreint pas au
c a sd el ’ ´ elasticit´ eo` u W d´ epend de ϕ ` a travers ∇ϕ seulement. On autorise W
` ad ´ ependre explicitement de ϕ lui-mˆ eme, et de ses d´ eriv´ ees, comme dans la
forme g´ en´ erale (1.2). Deux situations sont alors possibles pour chaque point
macroscopique x :
1 soit le point x se situe dans une zone, not´ ee Ω reg (comme “r´ eguli` ere”),
o` ul ad ´ eformation ϕ attendue est r´ eguli` ere, c’est-` a-dire ne pr´ esente
pas de variations fortes `
ap e t i t e´ echelle. On s’attend alors `
ac eq u e
le d´ eveloppement de Taylor (1.12) et le processus limite effectu´ es ` al a
section pr´ ec´ edente soient valables localement autour de x, et il est alors
raisonnable de poser
W (ϕ)(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
2
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk)
(1.27)
o` u ε d´ esigne la taille de la maille cristalline (voir la Remarque 1.4 et, cidessous, la Remarque 1.11 ; pour all´ eger on oublie dans (1.27) et (1.28) le
coefficient de normalisation). Tout se passe dans une telle zone comme si
le r´ eseau cristallin microscopique pr´ esent en x ´ etait d´ eform´ e lin´ eairement
en un autre r´ eseau cristallin par l’application lin´ eaire ∇ϕ(x),
2 soit le point x se situe dans une zone critique, not´ ee Ω sing (comme “singuli` ere”), o` ul ad ´ eformation ϕ est attendue comme h´ et´ erog` ene. Rien ne
dit alors que le calcul de la section pr´ ec´ edente soit correct (et en fait tout
dit mˆ eme le contraire), et il est indispensable de regarder explicitement
comment se d´ eforme le r´ eseau cristallin. Une fa¸ con de faire est de choisir
un atome repr´ esentatif de ce r´ eseau (celui plac´ e` a l’origine par exemple)
et de poser
W (ϕ)(x)=
1
2
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)).
(1.28)
Chaque atome du r´ eseau initialement plac´ ee nx + εk a´ et´ ed ´ eplac´ ee n
ϕ(x + εk) et interagit avec l’atome d’origine plac´ ed ´ esormais en ϕ(x).
Remarque 1.10. Dans l’un comme l’autre des cas, il faut noter que si V est un
potentiel d’interaction `
a support compact, les deux sommes (1.27) et (1.28)
sont en fait finies. Si V est seulement un potentiel qui d´ ecroit vite `
a l’infini,
il faudra en pratique r´ ealiser des troncatures pour calculer ces sommes.
Remarque 1.11. Dans la pratique num´ erique, la taille caract´ eristique du r´ eseau
cristallin microscopique est ε et pas exactement z´ ero comme dans le processus limite math´ ematique qui permet de trouver la densit´ e. On ne peut pas
se permettre, en un certain sens, de passer ` a la limite ε −→ 0 mais on doit
g´ erer explicitement un ε ridiculement petit mais non nul. Nous rencontrerons `
a plusieurs reprises cette diff´ erence entre analyse math´ ematique (o` uu n
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
o` uonanot´ e W la densit´ ed’´ energie. Un point important est `
a noter ici. Comme
on a pour objectif d’attaquer les situations difficiles, on ne se restreint pas au
c a sd el ’ ´ elasticit´ eo` u W d´ epend de ϕ ` a travers ∇ϕ seulement. On autorise W
` ad ´ ependre explicitement de ϕ lui-mˆ eme, et de ses d´ eriv´ ees, comme dans la
forme g´ en´ erale (1.2). Deux situations sont alors possibles pour chaque point
macroscopique x :
1 soit le point x se situe dans une zone, not´ ee Ω reg (comme “r´ eguli` ere”),
o` ul ad ´ eformation ϕ attendue est r´ eguli` ere, c’est-` a-dire ne pr´ esente
pas de variations fortes `
ap e t i t e´ echelle. On s’attend alors `
ac eq u e
le d´ eveloppement de Taylor (1.12) et le processus limite effectu´ es ` al a
section pr´ ec´ edente soient valables localement autour de x, et il est alors
raisonnable de poser
W (ϕ)(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
2
k =0∈Z Z 2
V (∇ϕ(x) · εk)
(1.27)
o` u ε d´ esigne la taille de la maille cristalline (voir la Remarque 1.4 et, cidessous, la Remarque 1.11 ; pour all´ eger on oublie dans (1.27) et (1.28) le
coefficient de normalisation). Tout se passe dans une telle zone comme si
le r´ eseau cristallin microscopique pr´ esent en x ´ etait d´ eform´ e lin´ eairement
en un autre r´ eseau cristallin par l’application lin´ eaire ∇ϕ(x),
2 soit le point x se situe dans une zone critique, not´ ee Ω sing (comme “singuli` ere”), o` ul ad ´ eformation ϕ est attendue comme h´ et´ erog` ene. Rien ne
dit alors que le calcul de la section pr´ ec´ edente soit correct (et en fait tout
dit mˆ eme le contraire), et il est indispensable de regarder explicitement
comment se d´ eforme le r´ eseau cristallin. Une fa¸ con de faire est de choisir
un atome repr´ esentatif de ce r´ eseau (celui plac´ e` a l’origine par exemple)
et de poser
W (ϕ)(x)=
1
2
k =0∈Z Z 2
V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)).
(1.28)
Chaque atome du r´ eseau initialement plac´ ee nx + εk a´ et´ ed ´ eplac´ ee n
ϕ(x + εk) et interagit avec l’atome d’origine plac´ ed ´ esormais en ϕ(x).
Remarque 1.10. Dans l’un comme l’autre des cas, il faut noter que si V est un
potentiel d’interaction `
a support compact, les deux sommes (1.27) et (1.28)
sont en fait finies. Si V est seulement un potentiel qui d´ ecroit vite `
a l’infini,
il faudra en pratique r´ ealiser des troncatures pour calculer ces sommes.
Remarque 1.11. Dans la pratique num´ erique, la taille caract´ eristique du r´ eseau
cristallin microscopique est ε et pas exactement z´ ero comme dans le processus limite math´ ematique qui permet de trouver la densit´ e. On ne peut pas
se permettre, en un certain sens, de passer ` a la limite ε −→ 0 mais on doit
g´ erer explicitement un ε ridiculement petit mais non nul. Nous rencontrerons `
a plusieurs reprises cette diff´ erence entre analyse math´ ematique (o` uu n