1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
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Fig. 1.4. Exp´ erience dite d’indentation : on appuie une pointe sur une table : les
d´ eformations attendues ` a l’impact (` a l’int´ erieur du cercle) sont fortes.
Fig. 1.5. Un mat´ eriau se d´ echire selon une fracture : au voisinage de la fracture, il
est impensable d’utiliser seulement l’´ echelle macroscopique.
1.3.1 Le mod` ele
Supposons encore notre mat´ eriau compos´ e` al’ ´ echelle microscopique d’atomes
r´ epartis sur un r´ eseau cristallin p´ eriodique parfait, dont la taille de la maille est
not´ ee ε.C em a t ´ eriau remplit un domaine Ω. Comme ` a la section pr´ ec´ edente,
nous gardons `
a l’esprit dans notre vision macroscopique qu’en chaque point x
du domaine Ω existe un r´ eseau p´ eriodique parfait microscopique sous-jacent.
Pour simplifier, nous allons supposer que nous travaillons dans une coupe bidimensionnelle du mat´ eriau : Ω et donc le r´ eseau cristallin, seront d´ esormais
consid´ er´ es comme des objets bidimensionnels plans. De mˆ eme la d´ eformation
ϕ envoie le plan sur lui-mˆ eme. Quant `
al ’ ´ energie microscopique, elle est prise
comme l’analogue bidimensionnel de l’´ energie (1.9).
Calculer l’´ etat du mat´ eriau sous la d´ eformation ϕ revient `
as a v o i r´ evaluer
l’´ energie de toute configuration d´ eform´ ee par ϕ. Compte-tenu de la description
faite ` a la section pr´ ec´ edente, il est raisonnable de d´ efinir cette ´ energie par
Ω
W (ϕ)(x) dx,
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Fig. 1.4. Exp´ erience dite d’indentation : on appuie une pointe sur une table : les
d´ eformations attendues ` a l’impact (` a l’int´ erieur du cercle) sont fortes.
Fig. 1.5. Un mat´ eriau se d´ echire selon une fracture : au voisinage de la fracture, il
est impensable d’utiliser seulement l’´ echelle macroscopique.
1.3.1 Le mod` ele
Supposons encore notre mat´ eriau compos´ e` al’ ´ echelle microscopique d’atomes
r´ epartis sur un r´ eseau cristallin p´ eriodique parfait, dont la taille de la maille est
not´ ee ε.C em a t ´ eriau remplit un domaine Ω. Comme ` a la section pr´ ec´ edente,
nous gardons `
a l’esprit dans notre vision macroscopique qu’en chaque point x
du domaine Ω existe un r´ eseau p´ eriodique parfait microscopique sous-jacent.
Pour simplifier, nous allons supposer que nous travaillons dans une coupe bidimensionnelle du mat´ eriau : Ω et donc le r´ eseau cristallin, seront d´ esormais
consid´ er´ es comme des objets bidimensionnels plans. De mˆ eme la d´ eformation
ϕ envoie le plan sur lui-mˆ eme. Quant `
al ’ ´ energie microscopique, elle est prise
comme l’analogue bidimensionnel de l’´ energie (1.9).
Calculer l’´ etat du mat´ eriau sous la d´ eformation ϕ revient `
as a v o i r´ evaluer
l’´ energie de toute configuration d´ eform´ ee par ϕ. Compte-tenu de la description
faite ` a la section pr´ ec´ edente, il est raisonnable de d´ efinir cette ´ energie par
Ω
W (ϕ)(x) dx,