12
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
V (r)=k(r − 1)
2 ,r > 0
(1.24)
avec k une constante strictement positive fix´ ee. Expliquer pourquoi l’´ energie
(1.23) est dite ´ energie des plus proches voisins. Montrer que lorsque ε tend
vers 0, l’´ energie E
ϕ
N tend vers la fonctionnelle d’´ energie ´ elastique lin´ earis´ ee
1
0
k |u
′ |
2 ,
(1.25)
d´ efinie sur la d´ eformation u(x)=ϕ(x) − x.E nd ´ eduire que, au moins dans ce
cas, le mod` ele atomique permet de retrouver un mod` ele macroscopique bien
connu.
Exercice 1.9. On se place dans les conditions de l’Exercice 1.5, mais on suppose cette fois que la port´ ee δ du potentiel d’interaction au niveau atomique
est bien plus longue que la distance interatomique ε =
1
N , ce qui se traduit
math´ ematiquement par
ε
δ
−→ 0 au lieu de ε = δ. Au niveau microscopique,
l’´ energie par atome est donc :
E
ϕ
N =
1
N
1
2
xi
xj
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
δ
.
avec x i = εi et i ∈ Z Z. Montrer alors que la mˆ eme construction que ci-dessus
conduit `
a
lim
N −→ +∞
ε
δ
E
ϕ
N =
1
2
R
V
Ω
1
|det (∇ϕ(x))|
dx.
(1.26)
1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
Il n’est pas rare de voir des situations o` ulad ´ eformation que subit le mat´ eriau
pr´ esente de grandes inhomog´ en´ eit´ es. Dans une majeure partie du mat´ eriau, la
d´ eformation peut ˆ etre consid´ er´ ee comme “gentille”, alors que dans une zone
pr´ ecise, on s’attend ` adesd ´ eformations importantes et irr´ eguli` eres. On pourra
par exemple se faire une id´ ee sur le cas o` u on appuie une pointe sur une table
(voir Figure 1.4). Au voisinage de la pointe (dans la pointe et dans la table),
on s’attend `
a de forts gradients, ailleurs on est plus serein. Un autre exemple
est celui d’un mat´ eriau en train de se fracturer (voir Figure 1.5). Dans la zone
d’ouverture, il est clair que la situation est difficile. A titre d’exemple, et sans
aucune pr´ etention `
al ag ´ en´ eralit´ e, nous allons pr´ esenter dans cette section
une m´ ethode possible pour traiter de telles situations. Il s’agit d’une m´ ethode
r´ ecente, datant des ann´ ees 90, due essentiellement ` a une ´ equipe de chercheurs
am´ ericains en M´ ecanique. Comme il sera de nombreuses fois d’usage dans ce
cours, nous en pr´ esentons une version simplifi´ ee destin´ ee avant tout `
af a i r e
sentir l’approche sans surcharger l’expos´ ed ed ´ etails techniques.
Nous allons en fait nous appuyer sur le travail effectu´ e dans la section
pr´ ec´ edente.
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
V (r)=k(r − 1)
2 ,r > 0
(1.24)
avec k une constante strictement positive fix´ ee. Expliquer pourquoi l’´ energie
(1.23) est dite ´ energie des plus proches voisins. Montrer que lorsque ε tend
vers 0, l’´ energie E
ϕ
N tend vers la fonctionnelle d’´ energie ´ elastique lin´ earis´ ee
1
0
k |u
′ |
2 ,
(1.25)
d´ efinie sur la d´ eformation u(x)=ϕ(x) − x.E nd ´ eduire que, au moins dans ce
cas, le mod` ele atomique permet de retrouver un mod` ele macroscopique bien
connu.
Exercice 1.9. On se place dans les conditions de l’Exercice 1.5, mais on suppose cette fois que la port´ ee δ du potentiel d’interaction au niveau atomique
est bien plus longue que la distance interatomique ε =
1
N , ce qui se traduit
math´ ematiquement par
ε
δ
−→ 0 au lieu de ε = δ. Au niveau microscopique,
l’´ energie par atome est donc :
E
ϕ
N =
1
N
1
2
xi
xj
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
δ
.
avec x i = εi et i ∈ Z Z. Montrer alors que la mˆ eme construction que ci-dessus
conduit `
a
lim
N −→ +∞
ε
δ
E
ϕ
N =
1
2
R
V
Ω
1
|det (∇ϕ(x))|
dx.
(1.26)
1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro
Il n’est pas rare de voir des situations o` ulad ´ eformation que subit le mat´ eriau
pr´ esente de grandes inhomog´ en´ eit´ es. Dans une majeure partie du mat´ eriau, la
d´ eformation peut ˆ etre consid´ er´ ee comme “gentille”, alors que dans une zone
pr´ ecise, on s’attend ` adesd ´ eformations importantes et irr´ eguli` eres. On pourra
par exemple se faire une id´ ee sur le cas o` u on appuie une pointe sur une table
(voir Figure 1.4). Au voisinage de la pointe (dans la pointe et dans la table),
on s’attend `
a de forts gradients, ailleurs on est plus serein. Un autre exemple
est celui d’un mat´ eriau en train de se fracturer (voir Figure 1.5). Dans la zone
d’ouverture, il est clair que la situation est difficile. A titre d’exemple, et sans
aucune pr´ etention `
al ag ´ en´ eralit´ e, nous allons pr´ esenter dans cette section
une m´ ethode possible pour traiter de telles situations. Il s’agit d’une m´ ethode
r´ ecente, datant des ann´ ees 90, due essentiellement ` a une ´ equipe de chercheurs
am´ ericains en M´ ecanique. Comme il sera de nombreuses fois d’usage dans ce
cours, nous en pr´ esentons une version simplifi´ ee destin´ ee avant tout `
af a i r e
sentir l’approche sans surcharger l’expos´ ed ed ´ etails techniques.
Nous allons en fait nous appuyer sur le travail effectu´ e dans la section
pr´ ec´ edente.