1.2 De l’´ echelle atomique ` al ’ ´ energie ´ elastique
11
En anticipant sur les chapitres suivants (voir notamment la formule (2.46)
donnant l’interpr´ etation variationnelle de l’homog´ en´ eisation elliptique au chap i t r e2 ,e tl es y s t ` eme micromacro (4.28) pour les fluides ` a microstructures),
terminons cette section en isolant bien la forme du probl` eme de minimisation
obtenu. Symboliquement, il s’´ ecrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
inf
E(ϕ) −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ
ϕ ∈A
,
E(ϕ)=
Ω
W (ϕ(x)) dx =
Ω
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx
et d´ eform´ ep a r∇ϕ(x)} dx
(1.21)
Nous allons ´ evoluer dans tout ce cours avec des mod` eles pr´ esentant la mˆ eme
forme, au sens large, que (1.21).
Remarque 1.7. A l’inverse, la strat´ e g i eq u en o u sv e n o n sd ed ´ ecrire peut ˆ etre
vue comme un moyen explicite de calculer l’´ energie au niveau microscopique.
Prenons en effet le point de vue suivant. Nous mod´ elisons l’´ energie du mat´ eriau
(d´ eform´ ep a rϕ)e n t i ` erement ` al ’ ´ echelle microscopique, c’est-` a-dire atomique,
par une formule du type (1.11), r´ ecrite ici sous la forme compacte (se reporter
` a (1.11) pour l’expression exacte)
E
ϕ
N =
1
N 3
1
2
x i ∈ A N
x j = x i ∈ A N ,
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
,
(1.22)
o` u A N est un ensemble de points, inclus dans (εZ)
3 , de cardinal d’ordre N
3 .En
pratique, N
3 est de l’ordre du Nombre d’Avogadro (10
23 )e tu n et e l l es o m m e
n’est donc pas calculable. Cependant, en adoptant le proc´ ed´ ep r ´ ec´ edent, on
voit que cette somme peut en fait, pour ε d’ordre 1/N ,ˆ etre reconnue comme
une somme de Riemann et calcul´ ee par une m´ ethode de discr´ etisation ad´ equate
pour l’int´ egrale correspondante qui n’est autre que (1.8) pour W d´ efinie par
(1.15).
Exercice 1.8. On se place en dimension 1, sur le segment [0, 1] sur lequel on
place N atomes espac´ es de ε =
1
N − 1
et plac´ es en les x i =
i − 1
N − 1
,1≤ i ≤
N .O ni m p o s e` a ces atomes une d´ eformation ϕ,f o n c t i o nr ´ eguli` ere suppos´ ee
strictement croissante (Pourquoi ?). L’´ energie du mat´ eriau est alors d´ efinie
par la formule suivante :
E
ϕ
N =
1
N
1
2
N
i=1
V
ϕ(x i ) − ϕ(x i−1 )
ε
,
(1.23)
o` u V est le potentiel d’interaction d´ efini par
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En anticipant sur les chapitres suivants (voir notamment la formule (2.46)
donnant l’interpr´ etation variationnelle de l’homog´ en´ eisation elliptique au chap i t r e2 ,e tl es y s t ` eme micromacro (4.28) pour les fluides ` a microstructures),
terminons cette section en isolant bien la forme du probl` eme de minimisation
obtenu. Symboliquement, il s’´ ecrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
inf
E(ϕ) −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ
ϕ ∈A
,
E(ϕ)=
Ω
W (ϕ(x)) dx =
Ω
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx
et d´ eform´ ep a r∇ϕ(x)} dx
(1.21)
Nous allons ´ evoluer dans tout ce cours avec des mod` eles pr´ esentant la mˆ eme
forme, au sens large, que (1.21).
Remarque 1.7. A l’inverse, la strat´ e g i eq u en o u sv e n o n sd ed ´ ecrire peut ˆ etre
vue comme un moyen explicite de calculer l’´ energie au niveau microscopique.
Prenons en effet le point de vue suivant. Nous mod´ elisons l’´ energie du mat´ eriau
(d´ eform´ ep a rϕ)e n t i ` erement ` al ’ ´ echelle microscopique, c’est-` a-dire atomique,
par une formule du type (1.11), r´ ecrite ici sous la forme compacte (se reporter
` a (1.11) pour l’expression exacte)
E
ϕ
N =
1
N 3
1
2
x i ∈ A N
x j = x i ∈ A N ,
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
,
(1.22)
o` u A N est un ensemble de points, inclus dans (εZ)
3 , de cardinal d’ordre N
3 .En
pratique, N
3 est de l’ordre du Nombre d’Avogadro (10
23 )e tu n et e l l es o m m e
n’est donc pas calculable. Cependant, en adoptant le proc´ ed´ ep r ´ ec´ edent, on
voit que cette somme peut en fait, pour ε d’ordre 1/N ,ˆ etre reconnue comme
une somme de Riemann et calcul´ ee par une m´ ethode de discr´ etisation ad´ equate
pour l’int´ egrale correspondante qui n’est autre que (1.8) pour W d´ efinie par
(1.15).
Exercice 1.8. On se place en dimension 1, sur le segment [0, 1] sur lequel on
place N atomes espac´ es de ε =
1
N − 1
et plac´ es en les x i =
i − 1
N − 1
,1≤ i ≤
N .O ni m p o s e` a ces atomes une d´ eformation ϕ,f o n c t i o nr ´ eguli` ere suppos´ ee
strictement croissante (Pourquoi ?). L’´ energie du mat´ eriau est alors d´ efinie
par la formule suivante :
E
ϕ
N =
1
N
1
2
N
i=1
V
ϕ(x i ) − ϕ(x i−1 )
ε
,
(1.23)
o` u V est le potentiel d’interaction d´ efini par