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1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Exercice 1.5. On suppose que la d´ eformation ϕ est un C
∞ -diff´ eomorphisme
de Ω dans IR
3 , c’est-` a-dire qu’en particulier elle v´ erifie
∃a, b > 0,/∀x, y ∈ Ω, a|x − y|≤|ϕ(x) − ϕ(y)|≤b|x − y|.
(1.19)
On suppose que V est une fonction C
∞ ` a support compact. On se place en
dimension 1, et Ω est le segment [−1/2, +1/2]. Montrer rigoureusement la
formule (1.14).
Exercice 1.6. V´ erifier que la densit´ e W d´ efinie (1.15) ne d´ epend en fait que
de
t FF et pas de F = ∇ϕ(x)l u i - m ˆ eme.
Une formule comme (1.14) met bien en ´ evidence le caract` ere multi´ echelle
du mat´ eriau : en chaque point macroscopique, la densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique
s’´ evalue en calculant l’´ energie du cristal d´ eform´ ep r ´ esent en x.
Evidemment, nous l’avons d´ emontr´ ee dans un cadre tr` es acad´ emique et
sous des hypoth` eses simplificatrices, mais sous la forme
Ω
W (F (x)) dx =
Ω
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx
et d´ eform´ ep a rF (x)} dx
(1.20)
elle s’applique dans des cas de mod´ elisation beaucoup plus g´ en´ eraux. Par
exemple, nous n’avons consid´ er´ e que des potentiels de paire (au niveau atomique, nous avons dit que les atomes int´ eragissaient deux ` ad e u xe tp a s
dans leur ensemble), mais nous pourrions appliquer la d´ emarche dans un
mod` ele plus complexe en tenant compte mˆ eme de la pr´ esence de la structure
´ electronique du r´ eseau cristallin. Du point de vue num´ erique, l’´ evaluation de
la densit´ ed ’ ´ energie sera compliqu´ ee d’autant.
Soulignons l’int´ erˆ et de l’approche microscopique qui a ´ et´ em e n ´ ee ici sur
un exemple simple. Pour les mat´ eriaux standards, utilis´ es dans des conditions
standard (i.e. sous des d´ eformations raisonnables), la fermeture des ´ equations
de l’´ elasticit´ e par une relation constitutive (1.2) liant contrainte et d´ eformation
(puis la discr´ etisation num´ erique du syst` eme d’´ equations ainsi obtenu) reste la
m´ ethode de choix. D’un point de vue num´ erique, une telle mod´ elisation reste
aussi la plus ´ economique. Mais, d` es que l’on sort de ces conditions standard
(mat´ eriau nouveau mal connu, mat´ eriau connu mais plac´ e sous des chargements inhabituels,...) on peut se trouver dans une situation o` u il n’existe pas
de relation constitutive appropri´ ee car les relations existantes sont en ´ echec.
Typiquement, la raison de cet ´ echec est que de telles formules sont d´ eriv´ ees
dans des situations “´ ecole”, sous des conditions standard, que le cas sp´ ecifique
nouveau ne connaˆ ıt pas forc´ ement. Dans une telle situation, retenons qu’il est
possible d’envisager une mod´ elisation par syst` eme multi´ echelle, et donc possible, dans l’esprit de ce qui a ´ et´ e fait ici, de descendre `
al ’ ´ echelle atomique.
D’ailleurs, mˆ eme sous des conditions standard, on peut vouloir v´ erifier que la
relation constitutive postul´ ee est la bonne, et l’´ echelle atomique peut venir en
aide sur ce point (voir `
a ce sujet l’Exercice 1.8).
1 Mod` eles micro-macro pour les solides
Exercice 1.5. On suppose que la d´ eformation ϕ est un C
∞ -diff´ eomorphisme
de Ω dans IR
3 , c’est-` a-dire qu’en particulier elle v´ erifie
∃a, b > 0,/∀x, y ∈ Ω, a|x − y|≤|ϕ(x) − ϕ(y)|≤b|x − y|.
(1.19)
On suppose que V est une fonction C
∞ ` a support compact. On se place en
dimension 1, et Ω est le segment [−1/2, +1/2]. Montrer rigoureusement la
formule (1.14).
Exercice 1.6. V´ erifier que la densit´ e W d´ efinie (1.15) ne d´ epend en fait que
de
t FF et pas de F = ∇ϕ(x)l u i - m ˆ eme.
Une formule comme (1.14) met bien en ´ evidence le caract` ere multi´ echelle
du mat´ eriau : en chaque point macroscopique, la densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique
s’´ evalue en calculant l’´ energie du cristal d´ eform´ ep r ´ esent en x.
Evidemment, nous l’avons d´ emontr´ ee dans un cadre tr` es acad´ emique et
sous des hypoth` eses simplificatrices, mais sous la forme
Ω
W (F (x)) dx =
Ω
{´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx
et d´ eform´ ep a rF (x)} dx
(1.20)
elle s’applique dans des cas de mod´ elisation beaucoup plus g´ en´ eraux. Par
exemple, nous n’avons consid´ er´ e que des potentiels de paire (au niveau atomique, nous avons dit que les atomes int´ eragissaient deux ` ad e u xe tp a s
dans leur ensemble), mais nous pourrions appliquer la d´ emarche dans un
mod` ele plus complexe en tenant compte mˆ eme de la pr´ esence de la structure
´ electronique du r´ eseau cristallin. Du point de vue num´ erique, l’´ evaluation de
la densit´ ed ’ ´ energie sera compliqu´ ee d’autant.
Soulignons l’int´ erˆ et de l’approche microscopique qui a ´ et´ em e n ´ ee ici sur
un exemple simple. Pour les mat´ eriaux standards, utilis´ es dans des conditions
standard (i.e. sous des d´ eformations raisonnables), la fermeture des ´ equations
de l’´ elasticit´ e par une relation constitutive (1.2) liant contrainte et d´ eformation
(puis la discr´ etisation num´ erique du syst` eme d’´ equations ainsi obtenu) reste la
m´ ethode de choix. D’un point de vue num´ erique, une telle mod´ elisation reste
aussi la plus ´ economique. Mais, d` es que l’on sort de ces conditions standard
(mat´ eriau nouveau mal connu, mat´ eriau connu mais plac´ e sous des chargements inhabituels,...) on peut se trouver dans une situation o` u il n’existe pas
de relation constitutive appropri´ ee car les relations existantes sont en ´ echec.
Typiquement, la raison de cet ´ echec est que de telles formules sont d´ eriv´ ees
dans des situations “´ ecole”, sous des conditions standard, que le cas sp´ ecifique
nouveau ne connaˆ ıt pas forc´ ement. Dans une telle situation, retenons qu’il est
possible d’envisager une mod´ elisation par syst` eme multi´ echelle, et donc possible, dans l’esprit de ce qui a ´ et´ e fait ici, de descendre `
al ’ ´ echelle atomique.
D’ailleurs, mˆ eme sous des conditions standard, on peut vouloir v´ erifier que la
relation constitutive postul´ ee est la bonne, et l’´ echelle atomique peut venir en
aide sur ce point (voir `
a ce sujet l’Exercice 1.8).