1.2 De l’´ echelle atomique ` al ’ ´ energie ´ elastique
9
lim
card {yj }−→+∞
1
card {y j }
yj
Ψ (y j ),
o` ulesy j sont ´ equir´ epartis sur un domaine de volume unit´ e. La formule (1.13)
n’est donc rien d’autre qu’une somme de Riemann qui converge quand N tend
vers l’infini vers
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
dx
(1.14)
Notre but est donc atteint. Nous avons bien d´ etermin´ e la fonction de densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique W ` ai n s ´ erer dans (1.8) :
W (F )(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
(1.15)
Cette formule (1.15) est l’exacte analogue de (1.9) pour le r´ eseau d´ eform´ epar
l’application lin´ eaire ∇ϕ(x). En chaque point x, cette fonction ne d´ epend que
de la valeur ponctuelle du gradient de d´ eformation F (x)=∇ϕ(x) (en fait de
t FF, voir l’Exercice 1.6) et bien sˆ ur de la nature du mat´ eriau consid´ er´ e, ici un
r´ eseau cristallin parfait dont les interactions sont r´ egies par le potentiel V .Au
moins dans ce cadre, nous avons donc d´ emontr´ e que l’hypoth` ese d’´ elasticit´ e
(1.3) ´ etait fond´ ee.
Remarque 1.4. Rappelons ici que, pour simplifier, nous avons suppos´ eq u eΩ
´ etait le cube de taille unit´ e et que, dans leur configuration d’´ equilibre, les
atomes ´ etaient aussi espac´ es de 1 sur chaque dimension (avant changement
d’´ echelle). Cela explique pourquoi la formule (1.15) peut apparaˆ ıtre comme
non homog` ene (une densit´ ed ’ ´ energie ` a gauche, une ´ energie ` a droite). Il est
instructif de r´ etablir les unit´ es. Soit a l’unit´ e de longueur `
al’ ´ echelle atomique,
de sorte que la maille du r´ eseau ` al ’ ´ equilibre est le cube de cˆ ot´ e a,e tq u eΩ
est (par exemple) le cube de cˆ ot´ e N a.A l o r s ,a p r ` es changement d’´ echelle, les
N
3 atomes sont espac´ es de
N a
N
sur chaque dimension. On obtient alors `
al a
place de (1.14) l’´ energie par nombre de particules
1
(N a) 3
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
dx
(1.16)
ce qui, sachant qu’il y a N
3 particules dans l’´ echantillon “r´ eel”, donne l’´ energie
totale
1
a 3
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
dx
(1.17)
et, donc, `
a la place de (1.15) la densit´ ed ’ ´ energie
W (F )(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
a 3
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
.
(1.18)
9
lim
card {yj }−→+∞
1
card {y j }
yj
Ψ (y j ),
o` ulesy j sont ´ equir´ epartis sur un domaine de volume unit´ e. La formule (1.13)
n’est donc rien d’autre qu’une somme de Riemann qui converge quand N tend
vers l’infini vers
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
dx
(1.14)
Notre but est donc atteint. Nous avons bien d´ etermin´ e la fonction de densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique W ` ai n s ´ erer dans (1.8) :
W (F )(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
(1.15)
Cette formule (1.15) est l’exacte analogue de (1.9) pour le r´ eseau d´ eform´ epar
l’application lin´ eaire ∇ϕ(x). En chaque point x, cette fonction ne d´ epend que
de la valeur ponctuelle du gradient de d´ eformation F (x)=∇ϕ(x) (en fait de
t FF, voir l’Exercice 1.6) et bien sˆ ur de la nature du mat´ eriau consid´ er´ e, ici un
r´ eseau cristallin parfait dont les interactions sont r´ egies par le potentiel V .Au
moins dans ce cadre, nous avons donc d´ emontr´ e que l’hypoth` ese d’´ elasticit´ e
(1.3) ´ etait fond´ ee.
Remarque 1.4. Rappelons ici que, pour simplifier, nous avons suppos´ eq u eΩ
´ etait le cube de taille unit´ e et que, dans leur configuration d’´ equilibre, les
atomes ´ etaient aussi espac´ es de 1 sur chaque dimension (avant changement
d’´ echelle). Cela explique pourquoi la formule (1.15) peut apparaˆ ıtre comme
non homog` ene (une densit´ ed ’ ´ energie ` a gauche, une ´ energie ` a droite). Il est
instructif de r´ etablir les unit´ es. Soit a l’unit´ e de longueur `
al’ ´ echelle atomique,
de sorte que la maille du r´ eseau ` al ’ ´ equilibre est le cube de cˆ ot´ e a,e tq u eΩ
est (par exemple) le cube de cˆ ot´ e N a.A l o r s ,a p r ` es changement d’´ echelle, les
N
3 atomes sont espac´ es de
N a
N
sur chaque dimension. On obtient alors `
al a
place de (1.14) l’´ energie par nombre de particules
1
(N a) 3
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
dx
(1.16)
ce qui, sachant qu’il y a N
3 particules dans l’´ echantillon “r´ eel”, donne l’´ energie
totale
1
a 3
1
2
Ω
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
dx
(1.17)
et, donc, `
a la place de (1.15) la densit´ ed ’ ´ energie
W (F )(x)=W (∇ϕ(x)) =
1
a 3
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · ka
.
(1.18)