81 M o d ` eles micro-macro pour les solides
(on part de la configuration de r´ ef´ erence d’´ equilibre, qu’on d´ eformera ensuite
sous l’effet de certaines forces), il est n´ ecessaire de changer l’´ echelle ` a laquelle
on regarde le potentiel d’un facteur ε =
1
N
,d es o r t eq u el ’ ´ energie par atome
est
E N =
1
N 3
1
2
xi
xj =xi
V
x i − x j
ε
.
o` up o u ra l l ´ eger la formule on n’a pas r´ ep´ et´ el ed ´ etail sur les sommations en
x i et x j . Appliquons alors notre d´ eformation ϕ.L ’ ´ energie devient
E
ϕ
N =
1
N 3
1
2
xi
xj xi
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
.
(1.11)
On va alors faire tendre ε vers z´ ero : on change d’´ echelle, puisque l’´ echelle
microscopique figur´ ee par ε devient nulle et laisse la place ` al ’ ´ echelle macroscopique qui nous int´ eresse seulement. Comme ε =
1
N
cela est ´ equivalent
` a faire tendre N vers +∞ :o nc o n s i d ` e r ed ep l u se np l u sd ’ a t o m e sq u ir e m -
plissent Ω.Lad´ eformation ϕ consid´ er´ ee ´ etant prise tr` es r´ eguli` ere, il est naturel
de faire le d´ eveloppement de Taylor :
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
= N
ϕ(
i
N
) − ϕ(
j
N
)
= ∇ϕ(
j
N
) · (i − j)
(1.12)
en n´ egligeant les termes d’ordre sup´ erieur et en notant
i
N
le multi-indice
(
i 1
N
,
i 2
N
,
i 3
N
)e td em ˆ eme pour
j
N
.L ’ ´ energie de notre mat´ eriau est donc
lim
N −→ +∞
1
N 3
1
2
i
j
V
∇ϕ(
j
N
) · (i − j)
.
A quelques termes de bord pr` es dont le lecteur pourra v´ erifier qu’ils sont
n´ egligeables asymptotiquement, on peut changer i − j en k de sorte que l’on
aa ff a i r e` a
lim
N −→ +∞
1
N 3
1
2
(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P
(k 1 ,k 2 ,k 3 ) =0∈ Z
3
−P ≤ k 1 ,k 2 ,k 3 ≤ P
V
∇ϕ(
j
N
) · k
.
(1.13)
Pour une fonction Ψ qui vaut asymptotiquement
Ψ (x)=
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
,
ceci est de la forme
(on part de la configuration de r´ ef´ erence d’´ equilibre, qu’on d´ eformera ensuite
sous l’effet de certaines forces), il est n´ ecessaire de changer l’´ echelle ` a laquelle
on regarde le potentiel d’un facteur ε =
1
N
,d es o r t eq u el ’ ´ energie par atome
est
E N =
1
N 3
1
2
xi
xj =xi
V
x i − x j
ε
.
o` up o u ra l l ´ eger la formule on n’a pas r´ ep´ et´ el ed ´ etail sur les sommations en
x i et x j . Appliquons alors notre d´ eformation ϕ.L ’ ´ energie devient
E
ϕ
N =
1
N 3
1
2
xi
xj xi
V
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
.
(1.11)
On va alors faire tendre ε vers z´ ero : on change d’´ echelle, puisque l’´ echelle
microscopique figur´ ee par ε devient nulle et laisse la place ` al ’ ´ echelle macroscopique qui nous int´ eresse seulement. Comme ε =
1
N
cela est ´ equivalent
` a faire tendre N vers +∞ :o nc o n s i d ` e r ed ep l u se np l u sd ’ a t o m e sq u ir e m -
plissent Ω.Lad´ eformation ϕ consid´ er´ ee ´ etant prise tr` es r´ eguli` ere, il est naturel
de faire le d´ eveloppement de Taylor :
ϕ(x i ) − ϕ(x j )
ε
= N
ϕ(
i
N
) − ϕ(
j
N
)
= ∇ϕ(
j
N
) · (i − j)
(1.12)
en n´ egligeant les termes d’ordre sup´ erieur et en notant
i
N
le multi-indice
(
i 1
N
,
i 2
N
,
i 3
N
)e td em ˆ eme pour
j
N
.L ’ ´ energie de notre mat´ eriau est donc
lim
N −→ +∞
1
N 3
1
2
i
j
V
∇ϕ(
j
N
) · (i − j)
.
A quelques termes de bord pr` es dont le lecteur pourra v´ erifier qu’ils sont
n´ egligeables asymptotiquement, on peut changer i − j en k de sorte que l’on
aa ff a i r e` a
lim
N −→ +∞
1
N 3
1
2
(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P
(k 1 ,k 2 ,k 3 ) =0∈ Z
3
−P ≤ k 1 ,k 2 ,k 3 ≤ P
V
∇ϕ(
j
N
) · k
.
(1.13)
Pour une fonction Ψ qui vaut asymptotiquement
Ψ (x)=
1
2
k =0∈Z Z 3
V
∇ϕ(x) · k
,
ceci est de la forme