1.2 De l’´ echelle atomique ` al ’ ´ energie ´ elastique
7
Pour cela, il ne faut pas perdre de vue que l’´ energie est une grandeur
extensive, c’est-` a-dire une grandeur qui d´ epend lin´ eairement de la quantit´ e
de mati` ere consid´ er´ ee (contrairement ` a une grandeur intensive comme la
temp´ erature, qui n’en d´ epend pas). Comme un cristal p´ eriodique est par
d´ efinition infini, la seule grandeur ´ energ´ etique qui a un sens est l’´ energie par
atome constituant le cristal. Autrement dit, chaque atome plac´ ee nx i interagissant avec ses voisins plac´ es en les x j par le potentiel V (x i − x j ), l’´ energie
qui a un sens est
lim
P −→ +∞
1
(2P +1) 3
1
2
x i =(i 1 ,i 2 ,i 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ i 1 ,i 2 ,i 3 ≤ P
x j =(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P,
x j = x i
V (x i − x j ),
(1.10)
o` u le nombre d’atomes consid´ er´ es est N
3 =(2P +1)
3 .Lefacteur
1
2
est pr´ esent
pour ´ eviter de compter deux fois l’interaction entre les atomes en x i et x j .En
utilisant la p´ eriodicit´ ed ur ´ eseau cristallin, on peut montrer que cette limite
a bien un sens, et qu’elle vaut (1.9). On peut aussi montrer qu’elle ne d´ epend
pas de la mani` ere dont l’ensemble limite Z
3 est approch´ e( i c il eg r a n dc u b e
[−P, P ]
3 ).
Exercice 1.3. Mon tre rdansled ´ etail que la formule (1.10) est bien d´ efinie et
donne (1.9) dans le cas d’un r´ eseau p´ eriodique monodimensionnel.
Revenons maintenant `
anotremat´ eriau. En chaque point x macroscopique,
nous savons qu’il existe un mat´ eriau cristallin parfait microscopique (toujours
le mˆ eme d’un point x ` a un autre dans ce mod` ele simplifi´ e) dont l’´ energie est
d´ ecrite par (1.9). Pour trouver une expression de l’´ energie du mat´ eriau macroscopique ainsi form´ e, qui plus est quand ce mat´ eriau subit une d´ eformation ϕ,
nous allons raisonner comme suit.
Nous remplissons le domaine Ω avec un r´ eseau cristallin parfait de maille
cubique de cˆ ot´ e ε =
1
N de sorte que nous avons N =2P + 1 points par dimension. Pour simplifier Ω est suppos´ eˆ etre de taille 1, ´ egal au cube [−
1
2 , +
1
2 ]
3
centr´ e en 0, et nous prenons un nombre impair de points par dimension, mais
tout ceci n’est qu’une affaire technique. Le nombre d’atomes contenus dans
Ω est alors N
3 =( 2 P +1)
3 et l’´ energie du syst` eme ainsi constitu´ e est, par
atome,
1
N 3
1
2
x i = ε(i 1 ,i 2 ,i 3 )
(i 1 ,i 2 ,i 3 ) ∈ Z
3
−P ≤ i 1 ,i 2 ,i 3 ≤ P
x j = ε(j 1 ,j 2 ,j 3 )
(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P
x j = x i
V (x i − x j ),
Une modification s’impose alors. Comme les positions des sommets du
r´ eseau p´ eriodique sont sens´ ees refl´ eter les positions d’´ equilibre du mat´ eriau
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Pour cela, il ne faut pas perdre de vue que l’´ energie est une grandeur
extensive, c’est-` a-dire une grandeur qui d´ epend lin´ eairement de la quantit´ e
de mati` ere consid´ er´ ee (contrairement ` a une grandeur intensive comme la
temp´ erature, qui n’en d´ epend pas). Comme un cristal p´ eriodique est par
d´ efinition infini, la seule grandeur ´ energ´ etique qui a un sens est l’´ energie par
atome constituant le cristal. Autrement dit, chaque atome plac´ ee nx i interagissant avec ses voisins plac´ es en les x j par le potentiel V (x i − x j ), l’´ energie
qui a un sens est
lim
P −→ +∞
1
(2P +1) 3
1
2
x i =(i 1 ,i 2 ,i 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ i 1 ,i 2 ,i 3 ≤ P
x j =(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P,
x j = x i
V (x i − x j ),
(1.10)
o` u le nombre d’atomes consid´ er´ es est N
3 =(2P +1)
3 .Lefacteur
1
2
est pr´ esent
pour ´ eviter de compter deux fois l’interaction entre les atomes en x i et x j .En
utilisant la p´ eriodicit´ ed ur ´ eseau cristallin, on peut montrer que cette limite
a bien un sens, et qu’elle vaut (1.9). On peut aussi montrer qu’elle ne d´ epend
pas de la mani` ere dont l’ensemble limite Z
3 est approch´ e( i c il eg r a n dc u b e
[−P, P ]
3 ).
Exercice 1.3. Mon tre rdansled ´ etail que la formule (1.10) est bien d´ efinie et
donne (1.9) dans le cas d’un r´ eseau p´ eriodique monodimensionnel.
Revenons maintenant `
anotremat´ eriau. En chaque point x macroscopique,
nous savons qu’il existe un mat´ eriau cristallin parfait microscopique (toujours
le mˆ eme d’un point x ` a un autre dans ce mod` ele simplifi´ e) dont l’´ energie est
d´ ecrite par (1.9). Pour trouver une expression de l’´ energie du mat´ eriau macroscopique ainsi form´ e, qui plus est quand ce mat´ eriau subit une d´ eformation ϕ,
nous allons raisonner comme suit.
Nous remplissons le domaine Ω avec un r´ eseau cristallin parfait de maille
cubique de cˆ ot´ e ε =
1
N de sorte que nous avons N =2P + 1 points par dimension. Pour simplifier Ω est suppos´ eˆ etre de taille 1, ´ egal au cube [−
1
2 , +
1
2 ]
3
centr´ e en 0, et nous prenons un nombre impair de points par dimension, mais
tout ceci n’est qu’une affaire technique. Le nombre d’atomes contenus dans
Ω est alors N
3 =( 2 P +1)
3 et l’´ energie du syst` eme ainsi constitu´ e est, par
atome,
1
N 3
1
2
x i = ε(i 1 ,i 2 ,i 3 )
(i 1 ,i 2 ,i 3 ) ∈ Z
3
−P ≤ i 1 ,i 2 ,i 3 ≤ P
x j = ε(j 1 ,j 2 ,j 3 )
(j 1 ,j 2 ,j 3 ) ∈ Z
3 ,
−P ≤ j 1 ,j 2 ,j 3 ≤ P
x j = x i
V (x i − x j ),
Une modification s’impose alors. Comme les positions des sommets du
r´ eseau p´ eriodique sont sens´ ees refl´ eter les positions d’´ equilibre du mat´ eriau