61 M o d ` eles micro-macro pour les solides
polycristal, voir la Figure 1.3). La d´ emarche que nous d´ ecrivons ci-dessous
pourrait s’appliquer `
a de tels cas plus r´ ealistes, avec bien entendu de s´ ev` eres
complications techniques. Elle pourrait mˆ eme s’appliquer `
ad e sm a t ´ eriaux
amorphes. Nous renvoyons pour cela `
al ab i b l i o g r a p h i e .
Fig. 1.3. Un v´ eritable solide est l’agr´ egation de grains de cristaux parfaits agenc´ es
dans diff´ erentes directions (la fl` eche figure symboliquement l’orientation du r´ eseau
cristallin ` a l’int´ erieur de chaque grain)
Pour simplifier l’expos´ e, mais ce n’est maintenant qu’une hypoth` ese technique, nous choisissons une maille cristalline cubique de cˆ ot´ e ε (qu’on ne
confondra bien sˆ ur pas avec le tenseur des d´ eformations lin´ earis´ e ε de la
section pr´ ec´ edente). Les atomes du r´ eseau sont plac´ es aux sommets des
cubes. D’autres configurations avec plus de contenu physique et d’authenticit´ e
m´ ecanique pourraient de mˆ eme ˆ etre envisag´ ees.
Reprenons notre d´ eformation ϕ ` al ’ ´ echelle macroscopique de notre mat´ eriau, et utilisons une loupe pour regarder son effet `
al ’ ´ echelle atomique. Il
semble tr` es raisonnable (bien qu’en fait d’autres approches, beaucoup plus
sophistiqu´ ees math´ ematiquement, existent) de consid´ erer que chaque atome
du r´ eseau initialement plac´ ee nX i = i 1 e 1 + i 2 e 2 + i 3 e 3 o` u i 1 ,i 2 ,i 3 d´ ecrivent
Z Z
3 et (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est la base canonique de IR
3 ici align´ ee avec les cˆ ot´ es de la
maille cubique, se d´ eplace sous l’effet de ϕ en une nouvelle position donn´ ee
(c’est l` a l’hypoth` ese) par
X
′
i = ϕ(X i ).
Pour une d´ eformation ϕ ne pr´ esentant pas d’irr´ egularit´ e flagrante, ceci est
plausible. Choisissons maintenant un mod` ele simpliste pour d´ ecrire l’´ energie
microscopique d’un r´ eseau cristallin parfait. Par d´ efinition, nous dirons que
l’´ energie du cristal parfait d´ ecrit ci-dessus est
E =
1
2
x k ∈Z Z 3 ,x k =0
V (x k ),
(1.9)
o` u V (r)=V (|r|) est un potentiel d’interaction suppos´ er ´ egulier (de classe
C
∞ (IR
3 )) et ` a support compact. Expliquons d’o` u vient l’´ energie (1.9).
polycristal, voir la Figure 1.3). La d´ emarche que nous d´ ecrivons ci-dessous
pourrait s’appliquer `
a de tels cas plus r´ ealistes, avec bien entendu de s´ ev` eres
complications techniques. Elle pourrait mˆ eme s’appliquer `
ad e sm a t ´ eriaux
amorphes. Nous renvoyons pour cela `
al ab i b l i o g r a p h i e .
Fig. 1.3. Un v´ eritable solide est l’agr´ egation de grains de cristaux parfaits agenc´ es
dans diff´ erentes directions (la fl` eche figure symboliquement l’orientation du r´ eseau
cristallin ` a l’int´ erieur de chaque grain)
Pour simplifier l’expos´ e, mais ce n’est maintenant qu’une hypoth` ese technique, nous choisissons une maille cristalline cubique de cˆ ot´ e ε (qu’on ne
confondra bien sˆ ur pas avec le tenseur des d´ eformations lin´ earis´ e ε de la
section pr´ ec´ edente). Les atomes du r´ eseau sont plac´ es aux sommets des
cubes. D’autres configurations avec plus de contenu physique et d’authenticit´ e
m´ ecanique pourraient de mˆ eme ˆ etre envisag´ ees.
Reprenons notre d´ eformation ϕ ` al ’ ´ echelle macroscopique de notre mat´ eriau, et utilisons une loupe pour regarder son effet `
al ’ ´ echelle atomique. Il
semble tr` es raisonnable (bien qu’en fait d’autres approches, beaucoup plus
sophistiqu´ ees math´ ematiquement, existent) de consid´ erer que chaque atome
du r´ eseau initialement plac´ ee nX i = i 1 e 1 + i 2 e 2 + i 3 e 3 o` u i 1 ,i 2 ,i 3 d´ ecrivent
Z Z
3 et (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est la base canonique de IR
3 ici align´ ee avec les cˆ ot´ es de la
maille cubique, se d´ eplace sous l’effet de ϕ en une nouvelle position donn´ ee
(c’est l` a l’hypoth` ese) par
X
′
i = ϕ(X i ).
Pour une d´ eformation ϕ ne pr´ esentant pas d’irr´ egularit´ e flagrante, ceci est
plausible. Choisissons maintenant un mod` ele simpliste pour d´ ecrire l’´ energie
microscopique d’un r´ eseau cristallin parfait. Par d´ efinition, nous dirons que
l’´ energie du cristal parfait d´ ecrit ci-dessus est
E =
1
2
x k ∈Z Z 3 ,x k =0
V (x k ),
(1.9)
o` u V (r)=V (|r|) est un potentiel d’interaction suppos´ er ´ egulier (de classe
C
∞ (IR
3 )) et ` a support compact. Expliquons d’o` u vient l’´ energie (1.9).