1.2 De l’´ echelle atomique ` al ’ ´ energie ´ elastique
5
Τ
e
T
e
t
e
Τ>0
Τ=0
Fig. 1.2. Diff´ erents comportements m´ ecaniques : ` a gauche l’´ elasticit´ e( l ad ´ eformation e d´ epend seulement du tenseur des contraintes T e tal am ˆ eme valeur
au chargement et au d´ echargement) ; ` a droite la plasticit´ e (cette fois la d´ eformation
n’est pas la mˆ eme lors du d´ echargement, le mat´ eriau garde la m´ emoire) ; en bas la
visco´ elasticit´ e et la viscoplasticit´ e (le temps joue un rˆ ole : apr` es une d´ eformation
maximale, la contrainte se relˆ ache)
1.2 De l’´ echelle atomique `
al ’ ´ energie ´ elastique
Nous allons montrer dans cette section une d´ erivation simple d’une densit´ e
d’´ energie macroscopique ` a partir d’informations recueillies au niveau microscopique, c’est-` a-dire au niveau atomique.
Pour simplifier, nous supposons que les forces f appliqu´ ees en volume et
les donn´ ees au bord g sont nulles. Notre objectif est donc de d´ eterminer,
par une inspection `
al ’ ´ echelle microscopique, une forme explicite de densit´ e
d’´ energie ´ elastique W ` a ins´ erer dans l’expression (1.5) de l’´ energie ´ elastique
du mat´ eriau, `
as a v o i r
Ω
W (F (x)) dx.
(1.8)
Nous choisissons pour cela un mat´ eriau cristallin parfait, c’est-` a-dire
que nous supposons qu’` al ’ ´ echelle atomique notre mat´ eriau est un cristal
p´ eriodique parfait, sans d´ efaut, remplissant la totalit´ e du domaine Ω.Ils’agit
bien sˆ ur d’une hypoth` ese simplificatrice pour l’expos´ e car un tel mat´ eriau
n’existe que rarement. Un v´ eritable solide est en fait dans le meilleur des cas
l’agr´ egation de tels cristaux parfaits (on parle de monocristaux agr´ eg´ es en un
5
Τ
e
T
e
t
e
Τ>0
Τ=0
Fig. 1.2. Diff´ erents comportements m´ ecaniques : ` a gauche l’´ elasticit´ e( l ad ´ eformation e d´ epend seulement du tenseur des contraintes T e tal am ˆ eme valeur
au chargement et au d´ echargement) ; ` a droite la plasticit´ e (cette fois la d´ eformation
n’est pas la mˆ eme lors du d´ echargement, le mat´ eriau garde la m´ emoire) ; en bas la
visco´ elasticit´ e et la viscoplasticit´ e (le temps joue un rˆ ole : apr` es une d´ eformation
maximale, la contrainte se relˆ ache)
1.2 De l’´ echelle atomique `
al ’ ´ energie ´ elastique
Nous allons montrer dans cette section une d´ erivation simple d’une densit´ e
d’´ energie macroscopique ` a partir d’informations recueillies au niveau microscopique, c’est-` a-dire au niveau atomique.
Pour simplifier, nous supposons que les forces f appliqu´ ees en volume et
les donn´ ees au bord g sont nulles. Notre objectif est donc de d´ eterminer,
par une inspection `
al ’ ´ echelle microscopique, une forme explicite de densit´ e
d’´ energie ´ elastique W ` a ins´ erer dans l’expression (1.5) de l’´ energie ´ elastique
du mat´ eriau, `
as a v o i r
Ω
W (F (x)) dx.
(1.8)
Nous choisissons pour cela un mat´ eriau cristallin parfait, c’est-` a-dire
que nous supposons qu’` al ’ ´ echelle atomique notre mat´ eriau est un cristal
p´ eriodique parfait, sans d´ efaut, remplissant la totalit´ e du domaine Ω.Ils’agit
bien sˆ ur d’une hypoth` ese simplificatrice pour l’expos´ e car un tel mat´ eriau
n’existe que rarement. Un v´ eritable solide est en fait dans le meilleur des cas
l’agr´ egation de tels cristaux parfaits (on parle de monocristaux agr´ eg´ es en un