41 M o d ` eles micro-macro pour les solides
requiert tout l’art du m´ ecanicien. Autant de mat´ eriaux, sous autant de conditions, autant de relations (1.2) ou de densit´ es W . Nous verrons plus loin dans
ce Chapitre que l’approche multi´ echelle d´ ecrite ici est en fait un moyen, alternatif `
a l’exp´ erience par exemple, de d´ eterminer une formule (1.2), ou une
fonction W (voir notamment l’Exercice 1.8 `
a ce sujet).
En attendant, une simplification suppl´ ementaire est possible : celle de
l’´ elasticit´ el i n ´ eaire.O nc o n s i d ` ere alors que le tenseur des d´ eformations
e =
1
2
(
t FF − 1) =
1
2
(∇u +
t ∇u +
t ∇u ·∇u)
peut ˆ etre approch´ e par sa version lin´ earis´ ee
ε =
1
2
(∇u +
t ∇u),
et que le tenseur des contraintes T s’exprime de fa¸ con lin´ eaire par rapport `
a ε
T = Aε
o` u A est un tenseur d’ordre 4.
L’´ energie ´ elastique qui correspond `
al ’ ´ elasticit´ e lin´ earis´ ee est alors
W =
1
2
εAε,
et la d´ etermination de l’´ etat de d´ eformation du mat´ eriau passe alors par la
r´ esolution du probl` eme de minimisation
inf
u
1
2
Ω
εAε−
Ω
fu−
∂Ω
gu.
(1.7)
Exercice 1.1. Ecrire pr´ ecis´ ement les ´ equations d’optimalit´ e de (1.6) et retrouver les relations (1.1) et (1.4). Particulariser au cas de l’´ elasticit´ e lin´ eaire
(1.7).
Remarque 1.2. On ne pr´ esume pas de l’existence et de l’unicit´ e des solutions
des probl` emes de minimisation comme (1.7) qui peuvent n´ ecessiter des hypoth` eses suppl´ ementaires.
Munis de ces ´ el´ ements, nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer les questions sur lesquelles nous allons nous concentrer dans la suite de ce chapitre.
– 1 - Une approche multi´ echelle, allant chercher l’information au niveau
microscopique pour l’ins´ erer au niveau macroscopique permet-elle de
d´ efinir une forme particuli` ere de densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique W ?
– 2 - Comment peut-on s’y prendre dans les cas difficiles o` ulad´ eformation
subie par le mat´ eriau pr´ esente de fortes h´ et´ erog´ en´ eit´ es (certaines r´ egions
tr` es localis´ ees sont tr` es fortement d´ eform´ ees, d’autres, couvrant la majeure partie du domaine, le sont beaucoup moins) au point qu’un traitement macroscopique complet du mat´ eriau n’a pas de sens, ou qu’une
relation de fermeture est trop difficile `
ap o s t u l e r?
requiert tout l’art du m´ ecanicien. Autant de mat´ eriaux, sous autant de conditions, autant de relations (1.2) ou de densit´ es W . Nous verrons plus loin dans
ce Chapitre que l’approche multi´ echelle d´ ecrite ici est en fait un moyen, alternatif `
a l’exp´ erience par exemple, de d´ eterminer une formule (1.2), ou une
fonction W (voir notamment l’Exercice 1.8 `
a ce sujet).
En attendant, une simplification suppl´ ementaire est possible : celle de
l’´ elasticit´ el i n ´ eaire.O nc o n s i d ` ere alors que le tenseur des d´ eformations
e =
1
2
(
t FF − 1) =
1
2
(∇u +
t ∇u +
t ∇u ·∇u)
peut ˆ etre approch´ e par sa version lin´ earis´ ee
ε =
1
2
(∇u +
t ∇u),
et que le tenseur des contraintes T s’exprime de fa¸ con lin´ eaire par rapport `
a ε
T = Aε
o` u A est un tenseur d’ordre 4.
L’´ energie ´ elastique qui correspond `
al ’ ´ elasticit´ e lin´ earis´ ee est alors
W =
1
2
εAε,
et la d´ etermination de l’´ etat de d´ eformation du mat´ eriau passe alors par la
r´ esolution du probl` eme de minimisation
inf
u
1
2
Ω
εAε−
Ω
fu−
∂Ω
gu.
(1.7)
Exercice 1.1. Ecrire pr´ ecis´ ement les ´ equations d’optimalit´ e de (1.6) et retrouver les relations (1.1) et (1.4). Particulariser au cas de l’´ elasticit´ e lin´ eaire
(1.7).
Remarque 1.2. On ne pr´ esume pas de l’existence et de l’unicit´ e des solutions
des probl` emes de minimisation comme (1.7) qui peuvent n´ ecessiter des hypoth` eses suppl´ ementaires.
Munis de ces ´ el´ ements, nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer les questions sur lesquelles nous allons nous concentrer dans la suite de ce chapitre.
– 1 - Une approche multi´ echelle, allant chercher l’information au niveau
microscopique pour l’ins´ erer au niveau macroscopique permet-elle de
d´ efinir une forme particuli` ere de densit´ ed ’ ´ energie ´ elastique W ?
– 2 - Comment peut-on s’y prendre dans les cas difficiles o` ulad´ eformation
subie par le mat´ eriau pr´ esente de fortes h´ et´ erog´ en´ eit´ es (certaines r´ egions
tr` es localis´ ees sont tr` es fortement d´ eform´ ees, d’autres, couvrant la majeure partie du domaine, le sont beaucoup moins) au point qu’un traitement macroscopique complet du mat´ eriau n’a pas de sens, ou qu’une
relation de fermeture est trop difficile `
ap o s t u l e r?