1.1 El´ ements de m´ ecanique des milieux continus
3
Un corps est dit ´ elastique si le tenseur T (x)n ed ´ epend que du point x et
du gradient de d´ eformation F (x)
T = T (x, F (x)).
(1.3)
Ceci signifie en particulier que ni la d´ eformation ϕ elle-mˆ eme, ni ses d´ eriv´ ees
d’ordre sup´ erieur `
a 1 n’interviennent
1 ,e tq u es e u ll ep o i n tx consid´ er´ e( e t
en fait l’instant t consid´ er´ e) entre en jeu (voir Figure 1.2). Nous verrons au
Chapitre 4 une situation toute diff´ erente, celle des fluides non newtoniens o` u
l’histoire du mat´ eriau joue un rˆ ole : l’´ etat de d´ eformation en des points autres
que x,` a des instants ant´ erieurs, a un impact sur l’´ etat de contrainte en x au
temps t.
En plus de cette hypoth` ese d’´ elasticit´ e, il est courant de faire l’hypoth` ese
suppl´ ementaire (dite d’hyper´ elasticit´ e)q u ’ u nm a t ´ eriau ´ elastique ne dissipe
pas d’´ energie durant une d´ eformation cyclique. On en d´ eduit alors l’existence
d’une densit´ ed’ ´ energie ´ elastique W qui, pour des raisons d’invariance, d´ epend
de F seulement ` a travers
t FF. La densit´ e W et le tenseur des contraintes T
sont alors reli´ es par
T (F )=
∂W
∂F
(F ),
(1.4)
et on peut alors reconnaˆ ıtre les ´ equations d’´ equilibre (1.1) comme les ´ equations
d’Euler-Lagrange (c’est-` a-dire les ´ equations d’optimalit´ e) pour la minimisation d’une fonctionnelle d’´ energie du type
Ω
W (F (x)) dx +t e r m e sd ´ ependant de f, g
(1.5)
sur toutes les d´ eformations possibles
2 ϕ, i.e.
ϕ ∈A= { ϕ compatible avec les conditions aux limites impos´ ees
en d´ e f o r m a t i o n ,s ’ i lye na ,e td er ´ egularit´ e suffisante
pour donner un sens aux quantit´ es manipul´ ees}.
Sans rentrer dans le d´ etail, le probl` eme a la forme
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ.
(1.6)
La d´ etermination de la relation constitutive (1.2), ou de fa¸ con ´ equivalente
dans le cadre de l’´ elasticit´ e, de la densit´ e W , n’est pas une tˆ ache facile, et
1 U n ed e sc o n c l u s i o n sd el ’ ´ etude math´ ematique esquiss´ ee dans la Section 1.2 est
que cette hypoth` ese est correcte au premier ordre pour un mat´ eriau cristallin.
2 En fait, en plus des conditions ´ enonc´ ees, il existe d’autres conditions pour
qu’une d´ eformation soit m´ ecaniquement admissible, la condition d’injectivit´ ee td e
pr´ eservation de l’orientation. Nous omettons ces conditions dans la suite, notamment
car leur traitement math´ ematique rigoureux est ´ epineux.
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Un corps est dit ´ elastique si le tenseur T (x)n ed ´ epend que du point x et
du gradient de d´ eformation F (x)
T = T (x, F (x)).
(1.3)
Ceci signifie en particulier que ni la d´ eformation ϕ elle-mˆ eme, ni ses d´ eriv´ ees
d’ordre sup´ erieur `
a 1 n’interviennent
1 ,e tq u es e u ll ep o i n tx consid´ er´ e( e t
en fait l’instant t consid´ er´ e) entre en jeu (voir Figure 1.2). Nous verrons au
Chapitre 4 une situation toute diff´ erente, celle des fluides non newtoniens o` u
l’histoire du mat´ eriau joue un rˆ ole : l’´ etat de d´ eformation en des points autres
que x,` a des instants ant´ erieurs, a un impact sur l’´ etat de contrainte en x au
temps t.
En plus de cette hypoth` ese d’´ elasticit´ e, il est courant de faire l’hypoth` ese
suppl´ ementaire (dite d’hyper´ elasticit´ e)q u ’ u nm a t ´ eriau ´ elastique ne dissipe
pas d’´ energie durant une d´ eformation cyclique. On en d´ eduit alors l’existence
d’une densit´ ed’ ´ energie ´ elastique W qui, pour des raisons d’invariance, d´ epend
de F seulement ` a travers
t FF. La densit´ e W et le tenseur des contraintes T
sont alors reli´ es par
T (F )=
∂W
∂F
(F ),
(1.4)
et on peut alors reconnaˆ ıtre les ´ equations d’´ equilibre (1.1) comme les ´ equations
d’Euler-Lagrange (c’est-` a-dire les ´ equations d’optimalit´ e) pour la minimisation d’une fonctionnelle d’´ energie du type
Ω
W (F (x)) dx +t e r m e sd ´ ependant de f, g
(1.5)
sur toutes les d´ eformations possibles
2 ϕ, i.e.
ϕ ∈A= { ϕ compatible avec les conditions aux limites impos´ ees
en d´ e f o r m a t i o n ,s ’ i lye na ,e td er ´ egularit´ e suffisante
pour donner un sens aux quantit´ es manipul´ ees}.
Sans rentrer dans le d´ etail, le probl` eme a la forme
inf
ϕ∈A
Ω
W (∇ϕ(x)) dx −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ.
(1.6)
La d´ etermination de la relation constitutive (1.2), ou de fa¸ con ´ equivalente
dans le cadre de l’´ elasticit´ e, de la densit´ e W , n’est pas une tˆ ache facile, et
1 U n ed e sc o n c l u s i o n sd el ’ ´ etude math´ ematique esquiss´ ee dans la Section 1.2 est
que cette hypoth` ese est correcte au premier ordre pour un mat´ eriau cristallin.
2 En fait, en plus des conditions ´ enonc´ ees, il existe d’autres conditions pour
qu’une d´ eformation soit m´ ecaniquement admissible, la condition d’injectivit´ ee td e
pr´ eservation de l’orientation. Nous omettons ces conditions dans la suite, notamment
car leur traitement math´ ematique rigoureux est ´ epineux.