21 M o d ` eles micro-macro pour les solides
F = ∇ϕ : Ω −→ M 3 ,
o` u M 3 d´ esigne l’espace des matrices carr´ e de taille 3. Les coefficients de
la matrice F (x)s o n tl e s
∂ϕ
i
∂x j
(x). Ayant d´ ecrit la cin´ ematique, passons ` al a
dynamique.
Fig. 1.1. Champ de d´ eformation d’une configuration vers une autre.
Les ´ equations qui traduisent l’´ equilibre du corps (dans la configuration de
r´ ef´ erence Ω)s o n t
−div T = f, dans Ω
T · n = g, sur ∂Ω
(1.1)
o` u T d´ esigne le tenseur des contraintes (premier tenseur des contraintes de
Piola-Kirchhoff), f les forces de volume appliqu´ ees au corps, g les forces de
surface, et n le vecteur unitaire normale ext´ erieure ` a ∂Ω.
Pour d´ eterminer la position du corps ´ etudi´ e, il est n´ ecessaire de fermer le
syst` eme, c’est-` a-dire d’´ etablir une relation entre le tenseur des contraintes T
et les ´ el´ ements de nature cin´ ematique ϕ, u ou F :
T = T (x, ϕ(x), ...).
(1.2)
Cette relation est dite relation constitutive, ou aussi loi de comportement.
Elle d´ epend ´ evidemment de la nature physique du mat´ eriau consid´ er´ e. Il est
important de noter que l’´ ecriture (1.2) est formelle, au sens o` ua um e m b r ed e
droite peuvent intervenir des d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur de ϕ, des valeurs de
ϕ et de ses d´ eriv´ ees en des points autres que x (´ eventuellement ` a des instants
ant´ erieurs que l’instant t consid´ er´ e si on est dans un cadre d´ ependant du
temps), etc...
F = ∇ϕ : Ω −→ M 3 ,
o` u M 3 d´ esigne l’espace des matrices carr´ e de taille 3. Les coefficients de
la matrice F (x)s o n tl e s
∂ϕ
i
∂x j
(x). Ayant d´ ecrit la cin´ ematique, passons ` al a
dynamique.
Fig. 1.1. Champ de d´ eformation d’une configuration vers une autre.
Les ´ equations qui traduisent l’´ equilibre du corps (dans la configuration de
r´ ef´ erence Ω)s o n t
−div T = f, dans Ω
T · n = g, sur ∂Ω
(1.1)
o` u T d´ esigne le tenseur des contraintes (premier tenseur des contraintes de
Piola-Kirchhoff), f les forces de volume appliqu´ ees au corps, g les forces de
surface, et n le vecteur unitaire normale ext´ erieure ` a ∂Ω.
Pour d´ eterminer la position du corps ´ etudi´ e, il est n´ ecessaire de fermer le
syst` eme, c’est-` a-dire d’´ etablir une relation entre le tenseur des contraintes T
et les ´ el´ ements de nature cin´ ematique ϕ, u ou F :
T = T (x, ϕ(x), ...).
(1.2)
Cette relation est dite relation constitutive, ou aussi loi de comportement.
Elle d´ epend ´ evidemment de la nature physique du mat´ eriau consid´ er´ e. Il est
important de noter que l’´ ecriture (1.2) est formelle, au sens o` ua um e m b r ed e
droite peuvent intervenir des d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur de ϕ, des valeurs de
ϕ et de ses d´ eriv´ ees en des points autres que x (´ eventuellement ` a des instants
ant´ erieurs que l’instant t consid´ er´ e si on est dans un cadre d´ ependant du
temps), etc...