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Mod` eles micro-macro pour les solides
Nous d´ ecrivons dans ce premier chapitre une strat´ egie permettant de coupler, pour la simulation de la d´ eformation d’un corps solide, une description microscopique (allant jusqu’au niveau atomique) de la d´ eformation du
mat´ eriau l` ao `
u c’est n´ ecessaire, avec une description plus classique en termes
de m´ ecanique des milieux continus en d’autres zones du mat´ eriau. Au passage, l’approche d´ ecrite ici permet aussi de d´ efinir des mod` eles de m´ ecanique
macroscopiques pour des mat´ eriaux qui ne sont pas d´ ecrits par les hypoth` eses
habituelles. Dans un premier temps (Sections 1.1 `
a 1.3), nous ´ elaborons l’approche sans nous pr´ eoccuper de propri´ et´ es math´ ematiques : les calculs sont
men´ es formellement, les justifications rigoureuses ´ etant (un peu) laiss´ ees au
lecteur et (surtout) rel´ egu´ ees dans la bibliographie. De mˆ eme, nous d´ ecrivons
la strat´ egie num´ erique associ´ ee en termes purement factuels, sans aucune analyse num´ erique. Dans un second temps (Sections 1.4 et 1.5), nous abordons
l’analyse math´ ematique de mod` eles proches de ceux d´ eriv´ es aux premi` eres
sections. En particulier, la Section 1.4 est consacr´ ee ` a l’introduction d’un outil crucial pour l’´ etude des syst` emes multi´ echelles, la notion de topologie de
la convergence faible pour les fonctions. Cet outil math´ ematique est, dans une
certaine mesure, l’essence mˆ eme des probl` emes multi´ echelles.
1.1 El´ ements de m´ ecanique des milieux continus
Commen¸ cons par quelques rappels rapides sur la m´ ecanique des milieux continus et l’´ elasticit´ e tridimensionnelle. Nous ne donnons ici qu’une pr´ esentation
courte et donc un peu approximative, et renvoyons `
a la bibliographie pour
une pr´ esentation plus rigoureuse et plus ´ etoff´ ee.
Pour d´ ecrire la d´ eformation d’un corps solide remplissant le domaine de
r´ ef´ erence Ω, on utilise une fonction ϕ : Ω −→ IR
3 ,d i t ed´ eformation.I le s t
utile aussi d’introduire la fonction u(x)=ϕ(x) − x d´ efinissant le d´ eplacement.
Le gradient de d´ eformation est bien sˆ ur la fonction
Mod` eles micro-macro pour les solides
Nous d´ ecrivons dans ce premier chapitre une strat´ egie permettant de coupler, pour la simulation de la d´ eformation d’un corps solide, une description microscopique (allant jusqu’au niveau atomique) de la d´ eformation du
mat´ eriau l` ao `
u c’est n´ ecessaire, avec une description plus classique en termes
de m´ ecanique des milieux continus en d’autres zones du mat´ eriau. Au passage, l’approche d´ ecrite ici permet aussi de d´ efinir des mod` eles de m´ ecanique
macroscopiques pour des mat´ eriaux qui ne sont pas d´ ecrits par les hypoth` eses
habituelles. Dans un premier temps (Sections 1.1 `
a 1.3), nous ´ elaborons l’approche sans nous pr´ eoccuper de propri´ et´ es math´ ematiques : les calculs sont
men´ es formellement, les justifications rigoureuses ´ etant (un peu) laiss´ ees au
lecteur et (surtout) rel´ egu´ ees dans la bibliographie. De mˆ eme, nous d´ ecrivons
la strat´ egie num´ erique associ´ ee en termes purement factuels, sans aucune analyse num´ erique. Dans un second temps (Sections 1.4 et 1.5), nous abordons
l’analyse math´ ematique de mod` eles proches de ceux d´ eriv´ es aux premi` eres
sections. En particulier, la Section 1.4 est consacr´ ee ` a l’introduction d’un outil crucial pour l’´ etude des syst` emes multi´ echelles, la notion de topologie de
la convergence faible pour les fonctions. Cet outil math´ ematique est, dans une
certaine mesure, l’essence mˆ eme des probl` emes multi´ echelles.
1.1 El´ ements de m´ ecanique des milieux continus
Commen¸ cons par quelques rappels rapides sur la m´ ecanique des milieux continus et l’´ elasticit´ e tridimensionnelle. Nous ne donnons ici qu’une pr´ esentation
courte et donc un peu approximative, et renvoyons `
a la bibliographie pour
une pr´ esentation plus rigoureuse et plus ´ etoff´ ee.
Pour d´ ecrire la d´ eformation d’un corps solide remplissant le domaine de
r´ ef´ erence Ω, on utilise une fonction ϕ : Ω −→ IR
3 ,d i t ed´ eformation.I le s t
utile aussi d’introduire la fonction u(x)=ϕ(x) − x d´ efinissant le d´ eplacement.
Le gradient de d´ eformation est bien sˆ ur la fonction