6.2 L’unit´ e des approches
201
puis, au Chapitre 3,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
m k
d
2 ¯
x k
dt 2 (t)=
−∇ ¯
x k W (¯ x 1 (t), ···, ¯
x M (t))
W (¯ x 1 , ···, ¯
x M )=
U (¯ x 1 , ···, ¯
x M )+
1≤k z k z l
|¯ x k − ¯
x l |
U (¯ x 1 , ···, ¯
x M )=i n f{{ψ e ,H e (¯ x 1 , ···, ¯
x M ) · ψ e ,ψ e ∈H e , ψ e =1}
et au Chapitre 4
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Du
Dt
= F(τ p , u),
τ p = τ p (Σ)
DΣ
Dt
= G µ (Σ, u),
On constate que les probl` emes micro et macro qui coexistent alors peuvent
ˆ etre
- issus ou non du mˆ e m et y p ed em o d ´ elisation physique (le plus souvent ils
ne le sont pas, comme par exemple dans le couplage de la m´ ecanique
quantique pour les ´ electrons et de la m´ ecanique classique pour les noyaux
dans la dynamique mol´ eculaire du Chapitre 3)
- formalis´ es ou non par une ´ equation math´ ematique de mˆ eme nature (le plus
souvent encore ils ne le sont pas, comme par exemple le cas des fluides
polym´ eriques o` upeuventˆ etre coupl´ ees une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles
d´ eterministe et des ´ equations diff´ erentielles stochastiques).
Quand la nature des deux probl` emes n’est pas, pour quelque raison que
ce soit, la mˆ eme, ceci a pour cons´ equence que les techniques math´ ematiques
` a employer sont radicalement diff´ erentes, et que le traitement d’un probl` eme
multi´ echelle demande des comp´ etences math´ ematiques vari´ ees.
On peut aussi mieux comprendre la logique de la d´ emarche (6.1) et mesurer
sa g´ en´ eralit´ e si l’on change l´ eg` erement le vocabulaire. Changeons en effet le
mot “micro” en le mot local et le mot “macro” en le mot global.L es c h ´ ema
devient un couplage du type
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Sch´ ema de r´ esolution GLOBALE
Op´ eration pour obtenir certains ´ el´ ements du
GLOBAL en fonction du local
Sch´ ema de r´ esolution locale
(6.2)
o` u le couplage entre global et local se fait souvent par moyennisation de la
variable locale pour n’en retenir qu’une information globale.