202
6 Vers une unit´ e des approches
Remarque 6.1. On pourrait aussi parler de sch´ ema grossier et de sch´ ema fin,
pour ´ elargir encore le d´ ebat.
Sous cette forme (6.2), on peut reconnaˆ ıtre beaucoup de sch´ emas num´ eriques bien connus. Par exemple, le lecteur est peut-ˆ etre familier avec le
sch´ ema de Godunov pour les ´ equations hyperboliques. En deux mots, ce
sch´ ema (de type volumes finis) consiste ` af a i r e´ evoluer, sur chaque intervalle
de temps ∆t, une fonction constante sur chaque maille [x i ,x i+1 ]. A chaque
discontinuit´ e x i ,o nr ´ esout alors un probl` eme local, le probl` eme de Riemann,
pour obtenir le flux moyen (ou global) passant par la discontinuit´ e. Cette
r´ esolution locale, requise pour faire avancer d’un pas de temps la r´ esolution
globale, peut se faire de mani` ere compl` etement diff´ erente que la r´ esolution
globale : analytiquement, ou par un sch´ ema num´ erique qui peut reposer sur
la mˆ eme physique ou sur une physique diff´ erente (sch´ emas de type Boltzmann,
dynamique mol´ eculaire,..).
On pourrait ainsi multiplier les exemples (techniques multigrille, ...). D’un
certain point de vue, de telles similitudes montrent pourquoi le monde des
syst` emes multi´ echelles est proche de celui des techniques multi´ echelles.L e s
premiers sont intrins` equement multi´ echelles ` a cause de la physique sous jacente. Dans les secondes, la nature multi´ echelle peut ˆ etre issue d’un d´ ecoupage
“artificiel” du probl` eme dans un but d’efficacit´ e. Elle peut mˆ eme ˆ etre un pur
artefact : c’est la technique num´ erique elle-mˆ eme, qui, bˆ atie pour accroˆ ıtre
l’efficacit´ e, a ipso facto introduit de nouvelles ´ echelles (par exemple une discontinuit´ e locale) qui doivent alors ˆ etre trait´ ees.
6.3 Sur le front de la recherche
C eq u en o u sa v o n sd ´ ecrit dans les pages qui pr´ ec` edent ne recouvre bien sˆ ur
pas l’int´ egralit´ ed e sp r o b l ` emes multi´ echelles qui se posent, et des techniques
qu’on emploie pour les analyser puis les simuler num´ eriquement.
Ainsi, mˆ eme sur les sujets que nous avons abord´ es, par exemple la science
des mat´ eriaux, nous aurions pu parler des approches, employ´ ees par exemple
par M. Luskin [55, 56], o` ul ’ ´ echelle macroscopique est coupl´ ee non pas
avec l’´ echelle atomistique (comme au Chapitre 1), mais avec une ´ echelle
m´ esoscopique d´ ecrivant les microstructures apparaissant dans le mat´ eriau
(dans l’esprit des microstructures de la Figure 2.1 du Chapitre 2, penser `
ades
lamelles de mat´ eriaux diff´ erents ` a une ´ echelle interm´ ediaire du microm` etre
par exemple). De mˆ eme, nous aurions pu introduire l’immense champ de
l’homog´ en´ eisation stochastique d´ efrich´ e il y a plusieurs d´ ecennies par A. Bensoussan, J-L. Lions et G. Papanicolaou [12], mais encore en pleine ´ evolution.
Dans cette th´ eorie, le coefficient a(
x
ε
)del’´ equation mod` ele (2.1) du Chapitre 2
est al´ eatoire. Plutˆ ot par exemple que de partir d’une fonction a(x)p ´ eriodique
de p´ eriode 1, e.g. (2.14), on a une fonction a(x, ω) prenant al´ eatoirement sur
6 Vers une unit´ e des approches
Remarque 6.1. On pourrait aussi parler de sch´ ema grossier et de sch´ ema fin,
pour ´ elargir encore le d´ ebat.
Sous cette forme (6.2), on peut reconnaˆ ıtre beaucoup de sch´ emas num´ eriques bien connus. Par exemple, le lecteur est peut-ˆ etre familier avec le
sch´ ema de Godunov pour les ´ equations hyperboliques. En deux mots, ce
sch´ ema (de type volumes finis) consiste ` af a i r e´ evoluer, sur chaque intervalle
de temps ∆t, une fonction constante sur chaque maille [x i ,x i+1 ]. A chaque
discontinuit´ e x i ,o nr ´ esout alors un probl` eme local, le probl` eme de Riemann,
pour obtenir le flux moyen (ou global) passant par la discontinuit´ e. Cette
r´ esolution locale, requise pour faire avancer d’un pas de temps la r´ esolution
globale, peut se faire de mani` ere compl` etement diff´ erente que la r´ esolution
globale : analytiquement, ou par un sch´ ema num´ erique qui peut reposer sur
la mˆ eme physique ou sur une physique diff´ erente (sch´ emas de type Boltzmann,
dynamique mol´ eculaire,..).
On pourrait ainsi multiplier les exemples (techniques multigrille, ...). D’un
certain point de vue, de telles similitudes montrent pourquoi le monde des
syst` emes multi´ echelles est proche de celui des techniques multi´ echelles.L e s
premiers sont intrins` equement multi´ echelles ` a cause de la physique sous jacente. Dans les secondes, la nature multi´ echelle peut ˆ etre issue d’un d´ ecoupage
“artificiel” du probl` eme dans un but d’efficacit´ e. Elle peut mˆ eme ˆ etre un pur
artefact : c’est la technique num´ erique elle-mˆ eme, qui, bˆ atie pour accroˆ ıtre
l’efficacit´ e, a ipso facto introduit de nouvelles ´ echelles (par exemple une discontinuit´ e locale) qui doivent alors ˆ etre trait´ ees.
6.3 Sur le front de la recherche
C eq u en o u sa v o n sd ´ ecrit dans les pages qui pr´ ec` edent ne recouvre bien sˆ ur
pas l’int´ egralit´ ed e sp r o b l ` emes multi´ echelles qui se posent, et des techniques
qu’on emploie pour les analyser puis les simuler num´ eriquement.
Ainsi, mˆ eme sur les sujets que nous avons abord´ es, par exemple la science
des mat´ eriaux, nous aurions pu parler des approches, employ´ ees par exemple
par M. Luskin [55, 56], o` ul ’ ´ echelle macroscopique est coupl´ ee non pas
avec l’´ echelle atomistique (comme au Chapitre 1), mais avec une ´ echelle
m´ esoscopique d´ ecrivant les microstructures apparaissant dans le mat´ eriau
(dans l’esprit des microstructures de la Figure 2.1 du Chapitre 2, penser `
ades
lamelles de mat´ eriaux diff´ erents ` a une ´ echelle interm´ ediaire du microm` etre
par exemple). De mˆ eme, nous aurions pu introduire l’immense champ de
l’homog´ en´ eisation stochastique d´ efrich´ e il y a plusieurs d´ ecennies par A. Bensoussan, J-L. Lions et G. Papanicolaou [12], mais encore en pleine ´ evolution.
Dans cette th´ eorie, le coefficient a(
x
ε
)del’´ equation mod` ele (2.1) du Chapitre 2
est al´ eatoire. Plutˆ ot par exemple que de partir d’une fonction a(x)p ´ eriodique
de p´ eriode 1, e.g. (2.14), on a une fonction a(x, ω) prenant al´ eatoirement sur