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6 Vers une unit´ e des approches
Dans chacune de ces deux cat´ egories, le choix est, comme nous l’avons dit
en Introduction
- soit d’attaquer le syst` eme tel quel, ce qui n’est pas possible si la petite
´ echelle est trop petite (ce qui est le cas pour les probl` emes du Chapitre 1
ou 4)
- soit de faire disparaˆ ıtre la petite ´ echelle en l’homog´ en´ eisant de sorte d’obtenir un probl` eme ` al ’ ´ echelle macroscopique seulement (cf. le Chapitre 2,
ou la r´ eduction des syt` emes dynamiques au Chapitre 5)
- soit de la traiter conjointement avec l’´ echelle macroscopique (cf. les Chapitres 1 et 4)
6.2 L’unit´ e des approches
Concentrons-nous ici sur les probl` emes multi´ echelles o` u petite et grande
´ echelles coexistent sur tout le domaine. Qu’on d´ ecide de “supprimer” la petite
´ echelle (i.e. de faire ε = 0) ou de la traiter conjointement avec l’´ echelle macroscopique, le probl` eme final obtenu poss` ede sensiblement la mˆ eme forme, ` a
savoir
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Equation r´ egissant l’´ echelle MACRO
Expression d’une (ou plus) des variables
M A C R Oe nf o n c t i o nd el ’ ´ echelle micro
Equation r´ egissant l’´ echelle micro
(6.1)
Ainsi, au Chapitre 1,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
inf
E(ϕ) −
Ω
fϕ−
∂Ω
gϕ
ϕ v´ erifie les conditions au bord impos´ ees
E(ϕ)=
Ω
W (ϕ)(x) dx
W (ϕ)(x)=´ energie du r´ eseau cristallin plac´ ee nx et d´ eform´ ep a r∇ϕ(x)
et aussi les techniques rapidement ´ evoqu´ ees autour des m´ ethodes de relaxation
et des mesures de Young (cf. la Remarque 1.33), puis au Chapitre 2,
inf
u ∈ H
1
0 (Ω)
1
2
Ω
inf
∇v p´ eriodique
Y
∇v = ∇u(x)
Y
(∇v(y) ,A (y) ·∇v(y)) dy
dx −
Ω
fu,