5.5 R´ eduction de syst` emes
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o` u u apparaˆ ıt comme une variable lente. On reconnaˆ ıt la forme (5.46). On
peut donc remplacer ce syst` eme (5.56) par le syst` eme r´ eduit
du
dt
= −Mg 1 (u + My,y)+f 1 (u + My,y)
0=g 0 (u + My,y)
(5.57)
et r´ esoudre ce nouveau syst` eme (la deuxi` eme ligne d´ efinit y comme fonction
de u, et on l’ins` e r ed a n sl ap r e m i ` ere ligne).
Regardons un dernier exemple, explicite en termes de chimie.
On ´ etudie le sch´ ema de cin´ etique atmosph´ erique
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
O + O 2
1
−→ O 3 ,
NO 2 + lumi` ere
2
−→ NO + O,
NO + O 3
3
−→ NO 2 + O 2 ,
(5.58)
En plus des esp` eces ci-dessus, on note par c le vecteur concentration de
toutes les autres esp` eces pr´ esentes. On suppose que les trois r´ eactions ´ ecrites
ci-dessus sont rapides et que toutes les autres r´ eactions possibles soit entre
les esp` eces chimiques ci-dessus, soit entre ces esp` eces et les esp` eces c d’autre
part, sont lentes.
On pose alors
x =
NO
O 3
,y =
NO 2
O
L’´ evolution du syst` eme est alors r´ egie par
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dc
dt
= a(c, x, y)
ε
dx
dt
= f 0 (x, y)+εf 1 (c, x, y),
ε
dy
dt
= g 0 (x, y)+εg 1 (c, x, y),
(5.59)
o` u a, f 1 et g 1 mod´ elisent les termes de r´ eaction lents alors que f 0 et g 0
mod´ elisent les rapides. Ces derniers valent pr´ ecis´ ement :
f 0 (x, y)=
ω 2 − ω 3
ω 1 − ω 3
,g 0 (x, y)=
−ω 2 + ω 3
ω 2 − ω 1
et o` u l’on d´ esigne par
ω i
ε
le taux de r´ eaction de la r´ eaction rapide num´ ero i
de (5.58).
En notant
M =
−10
−1 −1
et en posant