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5 Cin´ etique chimique
o` u on oublie l’esp` ece Y 3 .
1 - Calculer la solution exacte.
2 - Montrer que ce syst` eme diff´ erentiel est raide pour ε>0p e t i t .
3 - Montrer qu’` a part pour t petit, la solution est approchable, `
a un ordre en
ε qu’on pr´ ecisera, par celle du syst` eme dit alg´ ebro-diff´ erentiel suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy 1
dt
= −y 1 ,
y 2 = εy 1
(5.53)
V´ erifier qu’on peut sans difficult´ e approcher ce probl` eme par un sch´ ema d’Euler explicite par exemple.
4 - Montrer que l’esp` ece Y 2 devient rapidement n´ egligeable. Quelle est la
solution du syst` eme (5.52) si l’on substitue y 2 = 0 pour tout temps `
al a
seconde ´ equation diff´ erentielle. Cette approximation est-elle aussi satisfaisante
que celle de la question pr´ ec´ edente ?
5 - Montrer qu’on peut retrouver directement (5.53) `
a partir de (5.52) et d’une
hypoth` ese sur
dy 2
dt
.End´ eduire une strat´ egie (parmi d’autres !) pour supprimer
la raideur pour des syst` emes du type (5.52).
Un commentaire s’impose : tous les syst` emes que l’on veut r´ eduire n’apparaissent pas spontan´ ement sous la forme (5.46), et un certain travail pr´ eliminaire peut ˆ etre n´ ecessaire. Ainsi, consid´ e r o n sl es y s t ` eme :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ε
dx
dt
= Mg 0 (x, y)+εf 1 (x, y),
ε
dy
dt
= g 0 (x, y)+εg 1 (x, y),
(5.54)
Ici, les esp` eces x et y respectivement de dimension n − p et p sont suppos´ ees
gouvern´ ees par une dynamique de mˆ eme vitesse a priori, et on ne sait pas
discriminer qui est rapide et qui est lent. Ce qui est identifiable ici est le
couplage rapide entre les deux esp` eces via la fonction g 0 qui apparaˆ ıt aux deux
mem bresdedroite(diviserlesdeux´ equations par ε pour s’en rendre compte).
On veut ´ eliminer ce couplage rapide grˆ ace ` a une r´ eduction du syst` eme. Pour
cela, on introduit la variable
u = x − My,
(5.55)
desorteque,ennegardan tquelesv ariables( u, y), le syst` eme s’´ ecrit de fa¸ con
´ equivalente :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
du
dt
= −Mg 1 (u + My,y)+f 1 (u + My,y),
ε
dy
dt
= g 0 (u + My,y)+εg 1 (u + My,y),
(5.56)
5 Cin´ etique chimique
o` u on oublie l’esp` ece Y 3 .
1 - Calculer la solution exacte.
2 - Montrer que ce syst` eme diff´ erentiel est raide pour ε>0p e t i t .
3 - Montrer qu’` a part pour t petit, la solution est approchable, `
a un ordre en
ε qu’on pr´ ecisera, par celle du syst` eme dit alg´ ebro-diff´ erentiel suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy 1
dt
= −y 1 ,
y 2 = εy 1
(5.53)
V´ erifier qu’on peut sans difficult´ e approcher ce probl` eme par un sch´ ema d’Euler explicite par exemple.
4 - Montrer que l’esp` ece Y 2 devient rapidement n´ egligeable. Quelle est la
solution du syst` eme (5.52) si l’on substitue y 2 = 0 pour tout temps `
al a
seconde ´ equation diff´ erentielle. Cette approximation est-elle aussi satisfaisante
que celle de la question pr´ ec´ edente ?
5 - Montrer qu’on peut retrouver directement (5.53) `
a partir de (5.52) et d’une
hypoth` ese sur
dy 2
dt
.End´ eduire une strat´ egie (parmi d’autres !) pour supprimer
la raideur pour des syst` emes du type (5.52).
Un commentaire s’impose : tous les syst` emes que l’on veut r´ eduire n’apparaissent pas spontan´ ement sous la forme (5.46), et un certain travail pr´ eliminaire peut ˆ etre n´ ecessaire. Ainsi, consid´ e r o n sl es y s t ` eme :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ε
dx
dt
= Mg 0 (x, y)+εf 1 (x, y),
ε
dy
dt
= g 0 (x, y)+εg 1 (x, y),
(5.54)
Ici, les esp` eces x et y respectivement de dimension n − p et p sont suppos´ ees
gouvern´ ees par une dynamique de mˆ eme vitesse a priori, et on ne sait pas
discriminer qui est rapide et qui est lent. Ce qui est identifiable ici est le
couplage rapide entre les deux esp` eces via la fonction g 0 qui apparaˆ ıt aux deux
mem bresdedroite(diviserlesdeux´ equations par ε pour s’en rendre compte).
On veut ´ eliminer ce couplage rapide grˆ ace ` a une r´ eduction du syst` eme. Pour
cela, on introduit la variable
u = x − My,
(5.55)
desorteque,ennegardan tquelesv ariables( u, y), le syst` eme s’´ ecrit de fa¸ con
´ equivalente :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
du
dt
= −Mg 1 (u + My,y)+f 1 (u + My,y),
ε
dy
dt
= g 0 (u + My,y)+εg 1 (u + My,y),
(5.56)