5.5 R´ eduction de syst` emes
195
On suppose que la fonction g 0 v´ erifie
∂g 0
∂x
est inversible, pour tout (x, y)v´ erifiant g 0 (x, y)=0,
(5.48)
ce qui entraˆ ıne qu’il existe une fonction h telle que
{(x, y) /g 0 (x, y)=0} = {(x, y) /y = h(x)}.
(5.49)
Alors, pour t>0,l es y s t ` eme (5.46)-(5.47) peut ˆ etre approch´ ea up r e m i e r
ordre en ε par le syst` eme suivant, dit syst` eme r´ eduit
dx
dt
= f 0 (x, y)+εf 1 (x, y)
0=g 0 (x, y)
(5.50)
compl´ ement´ e des conditions initiales
x(0) = x 0 ,
y(0) = h(x 0 )
(5.51)
Heuristiquement, ce r´ esultat signifie que, apr` es une couche limite petite
` ad r o i t ed et = 0, et dont le seul but est de fournir une “nouvelle condition initiale” (5.51), tout se passe comme si la variable rapide y avait atteint
son ´ equilibre, et que la dynamique du syst` eme soit enti` erement donn´ ee par
l’´ evolution de la variable lente x. C’est bien d’un tel r´ esultat dont nous avions
besoin.
Le lecteur rapprochera utilement ce r´ esultat
– d’une part de l’approximation adiabatique pour l’´ evolution d’un syst` eme
mol´ eculaire,
– d’autre part des ´ etudes de couche limite en espace que nous avons men´ ees
ant´ erieurement.
Bien sˆ ur, nous ne d´ emontrerons pas ce th´ eor` eme et nous contenterons de
le mettre en oeuvre sur des cas simples.
Commen¸ cons par une application directe dans l’exercice suivant.
Exercice 5.22. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy 1
dt
= −y 1 ,
ε
dy 2
dt
= εy 1 − y 2
(5.52)
de donn´ ees initiales y 1 (0) = y 10 , y 2 (0) = y 20 . Le param` etre ε est suppos´ e
petit. Ce syst` eme mod´ elise la cin´ etique chimique
Y 1
1
−→ Y 2
1/ε
−→ Y 3 ,
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On suppose que la fonction g 0 v´ erifie
∂g 0
∂x
est inversible, pour tout (x, y)v´ erifiant g 0 (x, y)=0,
(5.48)
ce qui entraˆ ıne qu’il existe une fonction h telle que
{(x, y) /g 0 (x, y)=0} = {(x, y) /y = h(x)}.
(5.49)
Alors, pour t>0,l es y s t ` eme (5.46)-(5.47) peut ˆ etre approch´ ea up r e m i e r
ordre en ε par le syst` eme suivant, dit syst` eme r´ eduit
dx
dt
= f 0 (x, y)+εf 1 (x, y)
0=g 0 (x, y)
(5.50)
compl´ ement´ e des conditions initiales
x(0) = x 0 ,
y(0) = h(x 0 )
(5.51)
Heuristiquement, ce r´ esultat signifie que, apr` es une couche limite petite
` ad r o i t ed et = 0, et dont le seul but est de fournir une “nouvelle condition initiale” (5.51), tout se passe comme si la variable rapide y avait atteint
son ´ equilibre, et que la dynamique du syst` eme soit enti` erement donn´ ee par
l’´ evolution de la variable lente x. C’est bien d’un tel r´ esultat dont nous avions
besoin.
Le lecteur rapprochera utilement ce r´ esultat
– d’une part de l’approximation adiabatique pour l’´ evolution d’un syst` eme
mol´ eculaire,
– d’autre part des ´ etudes de couche limite en espace que nous avons men´ ees
ant´ erieurement.
Bien sˆ ur, nous ne d´ emontrerons pas ce th´ eor` eme et nous contenterons de
le mettre en oeuvre sur des cas simples.
Commen¸ cons par une application directe dans l’exercice suivant.
Exercice 5.22. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dy 1
dt
= −y 1 ,
ε
dy 2
dt
= εy 1 − y 2
(5.52)
de donn´ ees initiales y 1 (0) = y 10 , y 2 (0) = y 20 . Le param` etre ε est suppos´ e
petit. Ce syst` eme mod´ elise la cin´ etique chimique
Y 1
1
−→ Y 2
1/ε
−→ Y 3 ,