5.5 R´ eduction de syst` emes
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la mˆ eme mani` ere, dans le cas du syst` eme diff´ erentiel (5.27), la valeur propre
−λ 1 de petit module r´ egit le comportement ` al o n gt e r m ed el as o l u t i o n ,e t
fournit la contrainte de pr´ ecision, alors que la valeur propre −λ N de grand
module domine seulement le comportement ` a court terme, mais pourtant r´ egit
la contrainte de stabilit´ e. Autrement dit, il est num´ eriquement facile de s’approcher de l’´ etat stationnaire, mais rester ensuite longtemps ` a son voisinage
est une gageure. Cette observation est g´ en´ erale. La convergence vers un r´ egime
permanent est typiquement le cas o` u on rencontre la raideur.
Exercice 5.20. On consid` ere le probl` eme de Cauchy suivant sur l’intervalle
[0, +∞[
dy
dt
= −
1
ε
(y − g(t)) + g
′ (t)
y(0) = y 0
(5.45)
o` u g(t) est une fonction C
1 donn´ ee.
1 - Ecrire la solution exacte de (5.45). Que se passe-t-il si y 0 = g(0) ?
2 - On discr´ etise l’´ equation par le sch´ ema d’Euler explicite. Montrer que la
contrainte de pr´ ecision est tr` es forte sur le segment [0,ε]. Montrer que la
contrainte de stabilit´ e est tr` es forte sur [ε, +∞[. En d´ eduire que le probl` eme
(5.45) n’est pas raide sur [0,ε] (alors que pourtant la “pente” y est grande)
mais seulement sur [ε, +∞[o `
u pourtant la “pente” est faible.
Dans l’exercice ci-dessus, la fonction g figure le r´ egime permanent du
syst` eme physique. Trouver le comportement ` a long terme du syst` eme requiert
de s’approcher aussi pr` es que possible de cette fonction g et de rester ` as o n
voisinage. Un peu caricaturalement, on pourrait dire que peu importe la fa¸ con
dont on converge vers cette fonction, il faut y arriver le plus vite possible : c’est
de toute fa¸ con indiff´ erent pour ce qui se passera aux temps longs. Si on regarde l’´ evolution du syst` eme comme une courbe trac´ ee dans l’espace des ´ etats
y, l’ensemble {y = g(t); t ≥ 0} est une courbe vers laquelle les trajectoires
convergent rapidement. En termes de syst` emes dynamiques, cette courbe est
un attracteur. Une bonne fa¸ con de r´ esoudre le probl` eme de la raideur est de
se d´ ebarrasser du comportement transitoire (donc des variables qui r´ egissent
ce comportement transitoire) pour ne garder que le comportement en temps
long, ce qui revient `
a identifier ex nihilo sur le probl` eme de Cauchy lui-mˆ eme
les variables int´ eressantes parmi l’ensemble des variables de d´ epart. Une fois
ce tri fait, le syst` eme dynamique est exempt de sa raideur : on se “prom` ene”
sur la vari´ et´ eq u id ´ ecrit le r´ egime permanent, et on n’en sort plus. D` es lors,
toutes les techniques num´ eriques peuvent ˆ etre adopt´ ees sans crainte. C’est la
probl` ematique de la r´ eduction de syst` emes.
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la mˆ eme mani` ere, dans le cas du syst` eme diff´ erentiel (5.27), la valeur propre
−λ 1 de petit module r´ egit le comportement ` al o n gt e r m ed el as o l u t i o n ,e t
fournit la contrainte de pr´ ecision, alors que la valeur propre −λ N de grand
module domine seulement le comportement ` a court terme, mais pourtant r´ egit
la contrainte de stabilit´ e. Autrement dit, il est num´ eriquement facile de s’approcher de l’´ etat stationnaire, mais rester ensuite longtemps ` a son voisinage
est une gageure. Cette observation est g´ en´ erale. La convergence vers un r´ egime
permanent est typiquement le cas o` u on rencontre la raideur.
Exercice 5.20. On consid` ere le probl` eme de Cauchy suivant sur l’intervalle
[0, +∞[
dy
dt
= −
1
ε
(y − g(t)) + g
′ (t)
y(0) = y 0
(5.45)
o` u g(t) est une fonction C
1 donn´ ee.
1 - Ecrire la solution exacte de (5.45). Que se passe-t-il si y 0 = g(0) ?
2 - On discr´ etise l’´ equation par le sch´ ema d’Euler explicite. Montrer que la
contrainte de pr´ ecision est tr` es forte sur le segment [0,ε]. Montrer que la
contrainte de stabilit´ e est tr` es forte sur [ε, +∞[. En d´ eduire que le probl` eme
(5.45) n’est pas raide sur [0,ε] (alors que pourtant la “pente” y est grande)
mais seulement sur [ε, +∞[o `
u pourtant la “pente” est faible.
Dans l’exercice ci-dessus, la fonction g figure le r´ egime permanent du
syst` eme physique. Trouver le comportement ` a long terme du syst` eme requiert
de s’approcher aussi pr` es que possible de cette fonction g et de rester ` as o n
voisinage. Un peu caricaturalement, on pourrait dire que peu importe la fa¸ con
dont on converge vers cette fonction, il faut y arriver le plus vite possible : c’est
de toute fa¸ con indiff´ erent pour ce qui se passera aux temps longs. Si on regarde l’´ evolution du syst` eme comme une courbe trac´ ee dans l’espace des ´ etats
y, l’ensemble {y = g(t); t ≥ 0} est une courbe vers laquelle les trajectoires
convergent rapidement. En termes de syst` emes dynamiques, cette courbe est
un attracteur. Une bonne fa¸ con de r´ esoudre le probl` eme de la raideur est de
se d´ ebarrasser du comportement transitoire (donc des variables qui r´ egissent
ce comportement transitoire) pour ne garder que le comportement en temps
long, ce qui revient `
a identifier ex nihilo sur le probl` eme de Cauchy lui-mˆ eme
les variables int´ eressantes parmi l’ensemble des variables de d´ epart. Une fois
ce tri fait, le syst` eme dynamique est exempt de sa raideur : on se “prom` ene”
sur la vari´ et´ eq u id ´ ecrit le r´ egime permanent, et on n’en sort plus. D` es lors,
toutes les techniques num´ eriques peuvent ˆ etre adopt´ ees sans crainte. C’est la
probl` ematique de la r´ eduction de syst` emes.