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5 Cin´ etique chimique
Exercice 5.19. Montrer que quand on l’applique `
al ’ ´ equation (5.37), le
sch´ ema de l’Exercice 5.17 n’est pas d’ordre trois.
On concluera donc que dans les cas difficiles comme le cas des syst` emes
raides, il faut mener une analyse num´ erique tr` es particuli` ere, bien moins na¨ ıve
que la simple analyse num´ erique ∆t −→ 0. Ceci est bien naturel puisque ce
sont des sch´ emas implicites qu’on a alors en tˆ ete d’exploiter. Une fois cette
analyse num´ erique faite, on a en particulier une fid` ele estimation du coˆ ut en
pr´ ecision de la technique de d´ ecomposition d’op´ erateurs. Cette technique permettra de r´ eduire avantageusement la taille du syst` eme r´ esolu implicitement.
Voyons maintenant une autre technique pour l` a aussi r´ eduire le coˆ ut.
5.5 R´ eduction de syst` emes
Dans cette section, on a en tˆ ete deux observations :
–b e a u c o u pd es y s t ` emes d’´ equations de la cin´ etique chimique mettent en
jeu des centaines d’´ equations et des centaines d’esp` eces alors que in fine
on est seulement int´ eress´ e` a connaˆ ıtre l’´ evolution de quelques esp` eces
parmi elles,
–s il es y s t ` eme global est raide on devra r´ esoudre d’´ enormes syst` emes, en
majeure partie pour rien.
L’id´ ee est donc de r´ eduire le syst` eme en ´ eliminant un certain nombre
d’´ equations et de variables. Il s’agit des variables qui ´ evoluent rapidement
et/ou atteignent rapidement un ´ etat d’´ equilibre. Typiquement, on s’attend
` a observer d’abord une ´ evolution des variables rapides, jusqu’` au n´ etat
d’´ equilibre, puis seules subsistent dans l’´ evolution du syst` eme les variables
lentes. Il suffira alors de consid´ erer seulement ces derni` eres. Bien sˆ ur, au lieu
d’employer le mot “r´ eduire” qui est d’usage dans ce contexte, on pourrait
tout aussi bien, pour souligner le parall` elea v ecleChapitre2,emplo y erlemot
“homog´ en´ eiser”, puisqu’ici aussi on fait disparaˆ ıtre les petites ´ echelles. Avant
de mettre en oeuvre cette id´ ee, revenons de mani` ere g´ en´ erale sur un syst` eme
raide.
L’approche la plus f´ econde pour comprendre le ph´ enom` ene de raideur est
probablement l’approche syst` emes dynamiques. Bien que ce soit une approche
qui m´ eriterait un long expos´ e, nous nous contentons d’en d´ ecrire les grandes
lignes.
Une fa¸ con de reconsid´ erer (5.26) avec L grand est de regarder cette
´ evolution comme la convergence rapide vers un ´ etat stationnaire (ou permanent) du syst` eme physique, ici l’´ etat y = 0. Nous avons constat´ e que dans la
phase de convergence rapide vers cet ´ etat (intuitivement les temps t n petits),
la contrainte de pr´ ecision et celle de stabilit´ e´ etaient comparables. C’est seulement pour les temps grands qu’on avait disparit´ e de ces deux contraintes. De
5 Cin´ etique chimique
Exercice 5.19. Montrer que quand on l’applique `
al ’ ´ equation (5.37), le
sch´ ema de l’Exercice 5.17 n’est pas d’ordre trois.
On concluera donc que dans les cas difficiles comme le cas des syst` emes
raides, il faut mener une analyse num´ erique tr` es particuli` ere, bien moins na¨ ıve
que la simple analyse num´ erique ∆t −→ 0. Ceci est bien naturel puisque ce
sont des sch´ emas implicites qu’on a alors en tˆ ete d’exploiter. Une fois cette
analyse num´ erique faite, on a en particulier une fid` ele estimation du coˆ ut en
pr´ ecision de la technique de d´ ecomposition d’op´ erateurs. Cette technique permettra de r´ eduire avantageusement la taille du syst` eme r´ esolu implicitement.
Voyons maintenant une autre technique pour l` a aussi r´ eduire le coˆ ut.
5.5 R´ eduction de syst` emes
Dans cette section, on a en tˆ ete deux observations :
–b e a u c o u pd es y s t ` emes d’´ equations de la cin´ etique chimique mettent en
jeu des centaines d’´ equations et des centaines d’esp` eces alors que in fine
on est seulement int´ eress´ e` a connaˆ ıtre l’´ evolution de quelques esp` eces
parmi elles,
–s il es y s t ` eme global est raide on devra r´ esoudre d’´ enormes syst` emes, en
majeure partie pour rien.
L’id´ ee est donc de r´ eduire le syst` eme en ´ eliminant un certain nombre
d’´ equations et de variables. Il s’agit des variables qui ´ evoluent rapidement
et/ou atteignent rapidement un ´ etat d’´ equilibre. Typiquement, on s’attend
` a observer d’abord une ´ evolution des variables rapides, jusqu’` au n´ etat
d’´ equilibre, puis seules subsistent dans l’´ evolution du syst` eme les variables
lentes. Il suffira alors de consid´ erer seulement ces derni` eres. Bien sˆ ur, au lieu
d’employer le mot “r´ eduire” qui est d’usage dans ce contexte, on pourrait
tout aussi bien, pour souligner le parall` elea v ecleChapitre2,emplo y erlemot
“homog´ en´ eiser”, puisqu’ici aussi on fait disparaˆ ıtre les petites ´ echelles. Avant
de mettre en oeuvre cette id´ ee, revenons de mani` ere g´ en´ erale sur un syst` eme
raide.
L’approche la plus f´ econde pour comprendre le ph´ enom` ene de raideur est
probablement l’approche syst` emes dynamiques. Bien que ce soit une approche
qui m´ eriterait un long expos´ e, nous nous contentons d’en d´ ecrire les grandes
lignes.
Une fa¸ con de reconsid´ erer (5.26) avec L grand est de regarder cette
´ evolution comme la convergence rapide vers un ´ etat stationnaire (ou permanent) du syst` eme physique, ici l’´ etat y = 0. Nous avons constat´ e que dans la
phase de convergence rapide vers cet ´ etat (intuitivement les temps t n petits),
la contrainte de pr´ ecision et celle de stabilit´ e´ etaient comparables. C’est seulement pour les temps grands qu’on avait disparit´ e de ces deux contraintes. De