5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs
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y n+1 − y((n +1)∆t)=x n (1 +
ε
1 − ε
e
−∆t
ε
−
1
1 − ε
e
−∆t ),
= x n (−
ε
1 − ε
+
∆t
1 − ε
)
+termes d’ordres sup´ erieurs et transitoires
(5.41)
ce qui est d’ordre ∆t (on rappelle
∆t
ε
>> 1). Cependant, il faut remarquer
que si on change les donn´ ees (x n ,y n )a ut e m p st n en des donn´ ees perturb´ ees
(x n + α n ,y n + β n ), alors la valeur obtenue au temps t n+1 est
y n+1 = x n + α n +(y n + β n − x n − α n ) e
−∆t
ε
x n+1 = e
−∆t (x n + α n )
(5.42)
et l’on constate donc que l’erreur β n sur la composante rapide y est rapidement amortie (elle est seulement dans le second terme, et donc tu´ ee par
l’exponentielle e
−∆t
ε ).
Alternativement, si on commence par appliquer l’op´ erateur A puis
B
ε
,o n
obtient la valeur au temps suivant
x n+1 = e
−∆t x n
y n+1 = x n+1 +(y n − x n+1 ) e
−∆t
ε
(5.43)
Cette fois, l’erreur sur y est
y n+1 − y((n +1)∆t)=x n (
−ε
1 − ε
e
−∆t − (e
−∆t +
1
1 − ε
)e
−∆t
ε )
= x n
−ε
1 − ε
e
−∆t
+ termes d’ordres sup´ erieurs et transitoires.
(5.44)
On peut remarquer que cette erreur est d’ordre ε (donc d’ordre << ∆t),
contrairement `
a l’erreur (5.41).
A l’issue de ces deux calculs d’erreur, on peut remarquer
– que l’erreur n’est dans aucun des deux cas d’ordre 2 en ∆t,cequiaurait
´ et´ ep r ´ evu par l’analyse d’erreur du cas standard,
– que l’erreur n’est pas la mˆ eme selon qu’on int` egre d’abord l’op´ erateur
A ou l’op´ erateur
B
ε
(alors que dans le cas standard, elle est la mˆ eme en
valeur absolue, cf. la relation (5.33)),
– que l’analyse montre qu’il vaut mieux int´ egrer d’abord l’op´ erateur lent
puis l’op´ erateur rapide, pour avoir une meilleure borne sur l’erreur.