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5 Cin´ etique chimique
o` u ε est un coefficient tr` es petit, et o` u les matrices A et B sont du mˆ eme
ordre de grandeur. La matrice A figure donc l’´ evolution lente et la matrice
B
ε
l’´ evolution rapide. Plus concr` etement, prenons le syst` eme ` a deux dimensions
d
dt
x
y
=
−10
1
ε −
1
ε
x
y
=
−10
00
x
y
+
00
1
ε −
1
ε
x
y
. (5.38)
On reconnaˆ ıt que x est la variable lente et y la variable rapide. Le d´ ecouplage
en les op´ erateurs A et
B
ε
correspond donc `
al ’ ´ evolution s´ epar´ ee de la variable
lente et de la variable rapide.
Nous avons dans l’id´ ee d’utiliser un pas de temps ∆t grand pour simuler
num´ eriquement ce syst` eme, au sens o` uc ep a sd et e m p sd o i tˆ etre calibr´ es u r
les ´ echelles de temps lentes pr´ esentes dans ce syst` eme (ici 1) et non les ´ echelles
rapides (ici ε). Dans la suite, nous avons donc ∆t >> ε.
La solution exacte pour le passage du temps n∆t au temps (n +1)∆t est
bien sˆ ur :
x((n +1)∆t)=e
−∆t x n
y((n +1)∆t)=
x n
1 − ε
e
−∆t +(y n −
x n
1 − ε
) e
−∆t
ε .
(5.39)
Nous allons montrer dans ce qui suit que le fait que ∆t soit “grand” met
en d´ efaut l’analyse num´ erique faite ci-dessus sur la d´ ecomposition pour le
syst` eme (5.30).
D’abord, remarquons que si l’analyse num´ erique pr´ ec´ edente ´ etait encore
vraie ici (i.e. encore vraie pour un ∆t grand), alors l’erreur locale admettrait
un d´ eveloppement du type (5.33), c’est-` a-dire ici
(A
B
ε
−
B
ε
A) O((∆t)
2 )+O((∆t)
3 ).
Ceci semblerait dire que plus ε est petit, plus l’erreur de d´ ecomposition commise est importante. Ceci n’est pas conforme ` a l’intuition selon laquelle on
a d’autant plus int´ erˆ et ` a utiliser une m´ ethode de d´ ecouplage que les ´ echelles
de temps sont vraiment diff´ erentes. V´ erifions maintenant quelle est la bonne
analyse num´ erique.
Sur l’exemple (5.37), on peut d’abord imaginer de r´ ealiser la d´ ecomposition
o` uo ni n t ` egre d’abord
B
ε
puis A. On obtient alors
y n+1 = x n +(y n − x n ) e
−∆t
ε
x n+1 = e
−∆t x n
(5.40)
La variable lente x est donc correctement int´ egr´ ee, et l’erreur sur la variable
y rapide est
5 Cin´ etique chimique
o` u ε est un coefficient tr` es petit, et o` u les matrices A et B sont du mˆ eme
ordre de grandeur. La matrice A figure donc l’´ evolution lente et la matrice
B
ε
l’´ evolution rapide. Plus concr` etement, prenons le syst` eme ` a deux dimensions
d
dt
x
y
=
−10
1
ε −
1
ε
x
y
=
−10
00
x
y
+
00
1
ε −
1
ε
x
y
. (5.38)
On reconnaˆ ıt que x est la variable lente et y la variable rapide. Le d´ ecouplage
en les op´ erateurs A et
B
ε
correspond donc `
al ’ ´ evolution s´ epar´ ee de la variable
lente et de la variable rapide.
Nous avons dans l’id´ ee d’utiliser un pas de temps ∆t grand pour simuler
num´ eriquement ce syst` eme, au sens o` uc ep a sd et e m p sd o i tˆ etre calibr´ es u r
les ´ echelles de temps lentes pr´ esentes dans ce syst` eme (ici 1) et non les ´ echelles
rapides (ici ε). Dans la suite, nous avons donc ∆t >> ε.
La solution exacte pour le passage du temps n∆t au temps (n +1)∆t est
bien sˆ ur :
x((n +1)∆t)=e
−∆t x n
y((n +1)∆t)=
x n
1 − ε
e
−∆t +(y n −
x n
1 − ε
) e
−∆t
ε .
(5.39)
Nous allons montrer dans ce qui suit que le fait que ∆t soit “grand” met
en d´ efaut l’analyse num´ erique faite ci-dessus sur la d´ ecomposition pour le
syst` eme (5.30).
D’abord, remarquons que si l’analyse num´ erique pr´ ec´ edente ´ etait encore
vraie ici (i.e. encore vraie pour un ∆t grand), alors l’erreur locale admettrait
un d´ eveloppement du type (5.33), c’est-` a-dire ici
(A
B
ε
−
B
ε
A) O((∆t)
2 )+O((∆t)
3 ).
Ceci semblerait dire que plus ε est petit, plus l’erreur de d´ ecomposition commise est importante. Ceci n’est pas conforme ` a l’intuition selon laquelle on
a d’autant plus int´ erˆ et ` a utiliser une m´ ethode de d´ ecouplage que les ´ echelles
de temps sont vraiment diff´ erentes. V´ erifions maintenant quelle est la bonne
analyse num´ erique.
Sur l’exemple (5.37), on peut d’abord imaginer de r´ ealiser la d´ ecomposition
o` uo ni n t ` egre d’abord
B
ε
puis A. On obtient alors
y n+1 = x n +(y n − x n ) e
−∆t
ε
x n+1 = e
−∆t x n
(5.40)
La variable lente x est donc correctement int´ egr´ ee, et l’erreur sur la variable
y rapide est