5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs
189
z((n +1)∆t)=exp((A + B)∆t)z(n∆t).
D’autre part, la valeur obtenue via la d´ ecomposition d’op´ erateurs est
z
∗∗ ((n +1)∆t)=exp(B∆t)exp(A∆t)z(n∆t).
L’erreur faite au cours du pas de temps est donc
z
∗∗ ((n +1)∆t) − z((n +1)∆t)=−
1
2
(AB − BA)(∆t)
2 z(n∆t)+O((∆t)
3 ),
(5.33)
sans bien sˆ ur parler de l’erreur issue des discr´ etisations num´ eriques de chacun des syst` emes. On s’int´ eresse ici seulement ` a l’erreur induite par la
d´ ecomposition, tous les autres calculs ´ etant suppos´ es faits de mani` ere exacte.
L’exercice suivant montre comment obtenir ` a peu de frais une meilleure
pr´ ecision.
Exercice 5.17. Au lieu de d´ ecomposer en les deux sous-´ etapes (5.31) et
(5.32), on d´ ecompose en les trois sous-´ etapes suivantes :
dz
∗
dt
= Bz
∗
sur [n∆t, (n +
1
2 )∆t]
z
∗ (n∆t)=z(n∆t),
(5.34)
dz
∗∗
dt
= Az
∗∗
sur [n∆t, (n +1)∆t]
z
∗∗ (n∆t)=z
∗ ((n +
1
2 )∆t),
(5.35)
dz
∗∗∗
dt
= Bz
∗∗∗
sur [(n +
1
2 )∆t, (n +1)∆t]
z
∗∗∗ ((n +
1
2 )∆t)=z
∗∗ ((n +1)∆t),
(5.36)
Montrer que l’erreur induite par cette d´ ecomposition est d’ordre 3, et non 2
comme dans (5.33).
Exercice 5.18. Expliquer pourquoi, `
au n eo p ´ eration pr` es sur le premier des
pas de temps et sur le dernier, les deux sch´ emas (5.31)-(5.32) et (5.34)-(5.35)(5.36) sont en fait les mˆ emes. Quelle analyse de pr´ ecision est la bonne ? Commenter.
5.4.2 Le cas raide
Appliquons maintenant la technique ci-dessus au cas pr´ ecis d’un syst` eme de
type (5.30) qui exhibe deux ´ echelles de temps radicalement diff´ erentes. Une
fa¸ con de formaliser cela est de supposer que le syst` eme s’´ ecrit
dz
dt
= Az +
B
ε
z
(5.37)
189
z((n +1)∆t)=exp((A + B)∆t)z(n∆t).
D’autre part, la valeur obtenue via la d´ ecomposition d’op´ erateurs est
z
∗∗ ((n +1)∆t)=exp(B∆t)exp(A∆t)z(n∆t).
L’erreur faite au cours du pas de temps est donc
z
∗∗ ((n +1)∆t) − z((n +1)∆t)=−
1
2
(AB − BA)(∆t)
2 z(n∆t)+O((∆t)
3 ),
(5.33)
sans bien sˆ ur parler de l’erreur issue des discr´ etisations num´ eriques de chacun des syst` emes. On s’int´ eresse ici seulement ` a l’erreur induite par la
d´ ecomposition, tous les autres calculs ´ etant suppos´ es faits de mani` ere exacte.
L’exercice suivant montre comment obtenir ` a peu de frais une meilleure
pr´ ecision.
Exercice 5.17. Au lieu de d´ ecomposer en les deux sous-´ etapes (5.31) et
(5.32), on d´ ecompose en les trois sous-´ etapes suivantes :
dz
∗
dt
= Bz
∗
sur [n∆t, (n +
1
2 )∆t]
z
∗ (n∆t)=z(n∆t),
(5.34)
dz
∗∗
dt
= Az
∗∗
sur [n∆t, (n +1)∆t]
z
∗∗ (n∆t)=z
∗ ((n +
1
2 )∆t),
(5.35)
dz
∗∗∗
dt
= Bz
∗∗∗
sur [(n +
1
2 )∆t, (n +1)∆t]
z
∗∗∗ ((n +
1
2 )∆t)=z
∗∗ ((n +1)∆t),
(5.36)
Montrer que l’erreur induite par cette d´ ecomposition est d’ordre 3, et non 2
comme dans (5.33).
Exercice 5.18. Expliquer pourquoi, `
au n eo p ´ eration pr` es sur le premier des
pas de temps et sur le dernier, les deux sch´ emas (5.31)-(5.32) et (5.34)-(5.35)(5.36) sont en fait les mˆ emes. Quelle analyse de pr´ ecision est la bonne ? Commenter.
5.4.2 Le cas raide
Appliquons maintenant la technique ci-dessus au cas pr´ ecis d’un syst` eme de
type (5.30) qui exhibe deux ´ echelles de temps radicalement diff´ erentes. Une
fa¸ con de formaliser cela est de supposer que le syst` eme s’´ ecrit
dz
dt
= Az +
B
ε
z
(5.37)