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5 Cin´ etique chimique
par les variables ´ evoluant lentement, l’autre par les variables ´ evoluant rapidement. Chaque sous-syst` eme sera alors trait´ epa runem ´ ethode d’int´ egration
num´ erique sp´ ecifique, o` u le sous-pas de temps pourra ˆ etre choisi de fa¸ con
adapt´ ee. Ainsi, le pas de temps ∆t sera choisi grand ; on int´ egrera une partie du syst` eme (la partie raide) par une m´ ethode implicite en un seul pas de
temps ∆t et l’autre partie pourra ˆ etre int´ egr´ ee avec un sch´ ema explicite en
d´ ecoupant le pas ∆t en plus petits pas δt.D ´ etaillons ceci.
5.4.1 Le cas simple
Pour l’analyse, nous consid´ erons d’abord le cas o` ul e so p ´ erateurs correspondent `
a des vitesses de mˆ eme ordre. Consid´ erons l’exemple suivant
dz
dt
= Cz = Az + Bz
(5.30)
assorti de la condition initiale z(0) = z 0 . Dans cette ´ equation, z est un vecteur
de IR
N , A, B et C sont trois matrices de taille N . Les matrices A et B sont
issues d’un d´ ecoupage de la matrice originale C et figurent deux parties de
l’op´ erateur d’´ evolution (on pensera bientˆ ot ` a une partie qui figure l’´ evolution
des esp` eces rapides, l’autre celle des esp` eces lentes, mais ce n’est pas le cas
tout de suite).
La m´ ethode de s´ eparation la plus naturelle est de r´ esoudre sur chaque pas
d et e m p sd el o n g u e u r[ n∆t, (n +1)∆t] les deux syst` emes
dz
∗
dt
= Az
∗
z
∗ (n∆t)=z(n∆t),
(5.31)
(ce qui fournit z
∗ ((n +1)∆t) et permet d’enchaˆ ıner avec)
dz
∗∗
dt
= Bz
∗∗
z
∗∗ (n∆t)=z
∗ ((n +1)∆t),
(5.32)
et de poser ` a l’issue z((n +1)∆t)=z
∗∗ ((n +1)∆t).
Chacun des deux syst` emes (5.31) et (5.32) sera simul´ en um ´ eriquement par
une m´ ethode ad´ equate, du type de celles introduites `
a la section pr´ ec´ edente.
Le gain provient ´ evidemment du fait que si l’on a bien partitionn´ e C
selon A + B (l’une des deux matrices ne contient que des ´ evolutions lentes
et l’autre que des ´ evolutions rapides), on va pouvoir traiter diff´ eremment les
deux syst` emes (5.31) et (5.32).
D’un autre cˆ ot´ e, il y a un prix `
a payer pour cette simplification. En
d´ ecoupant chaque pas de temps du probl` eme (5.30) en deux sous-probl` emes,
on a introduit une erreur dite erreur de d´ ecomposition.
Evaluons cette erreur dans notre cas simple. La valeur exacte de z((n +
1)∆t) obtenue en partant de z(n∆t) est
5 Cin´ etique chimique
par les variables ´ evoluant lentement, l’autre par les variables ´ evoluant rapidement. Chaque sous-syst` eme sera alors trait´ epa runem ´ ethode d’int´ egration
num´ erique sp´ ecifique, o` u le sous-pas de temps pourra ˆ etre choisi de fa¸ con
adapt´ ee. Ainsi, le pas de temps ∆t sera choisi grand ; on int´ egrera une partie du syst` eme (la partie raide) par une m´ ethode implicite en un seul pas de
temps ∆t et l’autre partie pourra ˆ etre int´ egr´ ee avec un sch´ ema explicite en
d´ ecoupant le pas ∆t en plus petits pas δt.D ´ etaillons ceci.
5.4.1 Le cas simple
Pour l’analyse, nous consid´ erons d’abord le cas o` ul e so p ´ erateurs correspondent `
a des vitesses de mˆ eme ordre. Consid´ erons l’exemple suivant
dz
dt
= Cz = Az + Bz
(5.30)
assorti de la condition initiale z(0) = z 0 . Dans cette ´ equation, z est un vecteur
de IR
N , A, B et C sont trois matrices de taille N . Les matrices A et B sont
issues d’un d´ ecoupage de la matrice originale C et figurent deux parties de
l’op´ erateur d’´ evolution (on pensera bientˆ ot ` a une partie qui figure l’´ evolution
des esp` eces rapides, l’autre celle des esp` eces lentes, mais ce n’est pas le cas
tout de suite).
La m´ ethode de s´ eparation la plus naturelle est de r´ esoudre sur chaque pas
d et e m p sd el o n g u e u r[ n∆t, (n +1)∆t] les deux syst` emes
dz
∗
dt
= Az
∗
z
∗ (n∆t)=z(n∆t),
(5.31)
(ce qui fournit z
∗ ((n +1)∆t) et permet d’enchaˆ ıner avec)
dz
∗∗
dt
= Bz
∗∗
z
∗∗ (n∆t)=z
∗ ((n +1)∆t),
(5.32)
et de poser ` a l’issue z((n +1)∆t)=z
∗∗ ((n +1)∆t).
Chacun des deux syst` emes (5.31) et (5.32) sera simul´ en um ´ eriquement par
une m´ ethode ad´ equate, du type de celles introduites `
a la section pr´ ec´ edente.
Le gain provient ´ evidemment du fait que si l’on a bien partitionn´ e C
selon A + B (l’une des deux matrices ne contient que des ´ evolutions lentes
et l’autre que des ´ evolutions rapides), on va pouvoir traiter diff´ eremment les
deux syst` emes (5.31) et (5.32).
D’un autre cˆ ot´ e, il y a un prix `
a payer pour cette simplification. En
d´ ecoupant chaque pas de temps du probl` eme (5.30) en deux sous-probl` emes,
on a introduit une erreur dite erreur de d´ ecomposition.
Evaluons cette erreur dans notre cas simple. La valeur exacte de z((n +
1)∆t) obtenue en partant de z(n∆t) est