5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs
187
Une telle m´ ethode est dite multipas puisque la valeur de y n+1 est bˆ atie ` apartir
non seulement de la valeur de y n , mais aussi de celles de y n−1 , y n−2 ,...
Le coefficient b −1 ,s u p p o s ´ e par construction non nul (il faut bien tenir
compte au moins une fois de f !), et les a j sont choisis de la mani` ere suivante :
on fait l’approximation de la fonction t −→ y(t) par le polynˆ ome prenant aux
p + 2 noeuds t n−p = t n − ph, t n−p+1 = t n − (p − 1)h, ..., t n+1 les valeurs
respectives y n−p , y n−p+1 , ..., y n+1 ;o ne nd ´ eduit par simple d´ erivation de ce
polynˆ ome une approximation de la d´ eriv´ ee y
′ (t n+1 ). On pose ensuite que cette
valeur est ´ egale ` a f (t n+1 ,y n+1 ) en vertu de ce que y est solution du probl` eme
de Cauchy.
Le cas p = 0 redonne la m´ ethode d’Euler implicite, et en prenant par
exemple p = 2, on trouve
y n+1 =
1
11
18y n − 9y n−1 +2y n−2
+
6
11
hf (t n+1 ,y n+1 ).
(5.29)
L’analyse num´ erique g´ en´ erale de ces m´ ethodes nous emm` enerait trop loin.
Il s’agit seulement de retenir ici que les notions de pr´ ecision, stabilit´ eetconvergence introduites ci-dessus peuvent ˆ etre ´ etendues au cas plus complexe comme
(5.28). Cette analyse montre la tr` es bonne stabilit´ e de telles m´ ethodes, et donc
leur aptitude `
a simuler les syst` emes raides.
5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs
Nous avons vu `
a la section pr´ ec´ edente une strat´ egie pour simuler num´ eriquement les syst` emes multi´ echelles en temps du type de ceux de la cin´ etique
chimique. On pourrait bri` evement r´ esumer cette strat´ egie par utiliser des
sch´ emas implicites, et non des sch´ emas explicites.
La difficult´ e est alors la suivante. Chaque pas de temps coˆ ute cher
puisque l’on doit d´ eterminer y n+1 ` ap a r t i rd ey n (et ´ eventuellement des it´ er´ es
pr´ ec´ edents dans le cadre d’une m´ ethode multipas) via la r´ esolution d’une
´ equation (comme par exemple (5.12) ou (5.29)). Ceci peut ˆ etre tr` es consommateur en temps calcul. On pensera au cas o` ul ’ ´ equation d’´ evolution est en
fait un ´ enorme syst` eme d’´ equations diff´ erentielles. Un tel cas n’est pas rare
en cin´ etique chimique o` u on va traiter parfois des centaines d’esp` eces et des
milliers de r´ eactions. Chaque pas de temps coˆ utera alors une r´ esolution d’un
gros syst` eme lin´ eaire.
Il est donc utile dans un tel cas de disposer d’une strat´ egie permettant de
d´ ecoupler un certain nombre d’´ equations ou de variables pour ne pas avoir
` a les traiter dans une lourde r´ esolution implicite. L’une des techniques est la
technique de s´ eparation d’op´ erateurs.
L’id´ ee est de r´ ealiser l’int´ egration en temps en plusieurs ´ etapes. Typiquement, chaque pas de temps ∆t ne sera pas une avanc´ ee globale pour le
syst` eme complet mais 2 avanc´ ees pour les deux sous-syst` emes constitu´ es l’un
187
Une telle m´ ethode est dite multipas puisque la valeur de y n+1 est bˆ atie ` apartir
non seulement de la valeur de y n , mais aussi de celles de y n−1 , y n−2 ,...
Le coefficient b −1 ,s u p p o s ´ e par construction non nul (il faut bien tenir
compte au moins une fois de f !), et les a j sont choisis de la mani` ere suivante :
on fait l’approximation de la fonction t −→ y(t) par le polynˆ ome prenant aux
p + 2 noeuds t n−p = t n − ph, t n−p+1 = t n − (p − 1)h, ..., t n+1 les valeurs
respectives y n−p , y n−p+1 , ..., y n+1 ;o ne nd ´ eduit par simple d´ erivation de ce
polynˆ ome une approximation de la d´ eriv´ ee y
′ (t n+1 ). On pose ensuite que cette
valeur est ´ egale ` a f (t n+1 ,y n+1 ) en vertu de ce que y est solution du probl` eme
de Cauchy.
Le cas p = 0 redonne la m´ ethode d’Euler implicite, et en prenant par
exemple p = 2, on trouve
y n+1 =
1
11
18y n − 9y n−1 +2y n−2
+
6
11
hf (t n+1 ,y n+1 ).
(5.29)
L’analyse num´ erique g´ en´ erale de ces m´ ethodes nous emm` enerait trop loin.
Il s’agit seulement de retenir ici que les notions de pr´ ecision, stabilit´ eetconvergence introduites ci-dessus peuvent ˆ etre ´ etendues au cas plus complexe comme
(5.28). Cette analyse montre la tr` es bonne stabilit´ e de telles m´ ethodes, et donc
leur aptitude `
a simuler les syst` emes raides.
5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs
Nous avons vu `
a la section pr´ ec´ edente une strat´ egie pour simuler num´ eriquement les syst` emes multi´ echelles en temps du type de ceux de la cin´ etique
chimique. On pourrait bri` evement r´ esumer cette strat´ egie par utiliser des
sch´ emas implicites, et non des sch´ emas explicites.
La difficult´ e est alors la suivante. Chaque pas de temps coˆ ute cher
puisque l’on doit d´ eterminer y n+1 ` ap a r t i rd ey n (et ´ eventuellement des it´ er´ es
pr´ ec´ edents dans le cadre d’une m´ ethode multipas) via la r´ esolution d’une
´ equation (comme par exemple (5.12) ou (5.29)). Ceci peut ˆ etre tr` es consommateur en temps calcul. On pensera au cas o` ul ’ ´ equation d’´ evolution est en
fait un ´ enorme syst` eme d’´ equations diff´ erentielles. Un tel cas n’est pas rare
en cin´ etique chimique o` u on va traiter parfois des centaines d’esp` eces et des
milliers de r´ eactions. Chaque pas de temps coˆ utera alors une r´ esolution d’un
gros syst` eme lin´ eaire.
Il est donc utile dans un tel cas de disposer d’une strat´ egie permettant de
d´ ecoupler un certain nombre d’´ equations ou de variables pour ne pas avoir
` a les traiter dans une lourde r´ esolution implicite. L’une des techniques est la
technique de s´ eparation d’op´ erateurs.
L’id´ ee est de r´ ealiser l’int´ egration en temps en plusieurs ´ etapes. Typiquement, chaque pas de temps ∆t ne sera pas une avanc´ ee globale pour le
syst` eme complet mais 2 avanc´ ees pour les deux sous-syst` emes constitu´ es l’un