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5 Cin´ etique chimique
les deux contraintes de pr´ ecision et de stabilit´ e absolue : comme le rapport λ N /λ 1 est tr` es grand, la seconde est ´ enorm´ ement plus exigeante. On
est bien dans le cas d’un probl` eme raide au sens de notre d´ efinition. Le lecteur comprendra ais´ ement que le raisonnement que nous avons men´ e serait
encore valable pour une matrice diagonale faite de valeurs propres complexes
dont les parties r´ eelles sont n´ egatives, ou encore pour une matrice quelconque
(quitte `
a la rendre triangulaire) v´ erifiant la mˆ eme propri´ et´ e, ou encore pour
un syst` eme quelconque dont la lin´ earisation (locale en temps) partagerait ces
caract´ eristiques. Ceci permet donc d’isoler une cat´ egorie de syst` emes qui sont
n´ ecessairement raides : Un syst` eme diff´ erentiel (i.e. m>1 dans (5.2)) est
raide au moins dans la situation suivante : sur au moins une partie de l’intervalle de temps qu’on consid` ere, la matrice jacobienne
∂f i
∂y j
(t, y)
ij
as e s
valeurs propres λ i v´ erifiant pour tout temps
0 ≥ Re(λ 1 ) ≥ ... ≥ Re(λ N ),
avec |Re(λ N )| grand devant |Re(λ 1 )|.
Exercice 5.16. Expliquer les difficult´ es rencontr´ ees aux Exercices 5.2 et 5.13.
La raideur d’un probl` eme est essentiellement due ` al ap r ´ esence dans le
probl` eme de Cauchy de plusieurs ´ echelles de temps radicalement diff´ erentes.
Dans le cas du syst` eme diff´ erentiel ci-dessus, les λ i peuvent typiquement
repr´ esenter des constantes de temps de l’´ evolution des diff´ erentes variables
du syst` eme physique, et la raideur signifie qu’une des variables ´ evolue incomparablement plus vite qu’une autre. On repensera bien sˆ ur au syst` eme de
cin´ etique chimique (5.1). La vari´ et´ ed e s´ echelles de temps est claire. Pour le
cas d’une ´ equation (et non d’un syst` eme), il faut comprendre que la vari´ et´ e
des ´ echelles de temps s’inscrit plus s´ equentiellement que parall` element comme
dans le cas du syst` eme : au d´ ebut (cf. l’Exercice 5.2) la “pente” est grande,
ceci ´ etant li´ ea uf a i tq u eL est grand, autrement dit la variable varie vite,
puis, quand le temps devient grand, la variable varie plus lentement. L` a est la
vari´ et´ edes´ echelles de temps. Quoi qu’il en soit, la raideur est intrins` equement
li´ ee ` a un comportement dynamique.
Une solution technique adapt´ ee sera donc de laisser de cˆ ot´ etoutem ´ ethode
explicite et d’adopter syst´ ematiquement une m´ ethode implicite, par exemple
le sch´ ema d’Euler implicite vu ci-dessus. Ce sch´ ema est en fait un cas particulier simple d’une famille g´ en´ erale, connue sous le nom de m´ ethodes de
diff´ erentiation r´ etrograde, ou plus couramment m´ ethode BDF, d’apr` es son
acronyme anglais pour Backward Differentiation Formulae.
y n+1 =
p
j=0
a j y n−j + hb −1 f (t n+1 ,y n+1 ).
(5.28)
5 Cin´ etique chimique
les deux contraintes de pr´ ecision et de stabilit´ e absolue : comme le rapport λ N /λ 1 est tr` es grand, la seconde est ´ enorm´ ement plus exigeante. On
est bien dans le cas d’un probl` eme raide au sens de notre d´ efinition. Le lecteur comprendra ais´ ement que le raisonnement que nous avons men´ e serait
encore valable pour une matrice diagonale faite de valeurs propres complexes
dont les parties r´ eelles sont n´ egatives, ou encore pour une matrice quelconque
(quitte `
a la rendre triangulaire) v´ erifiant la mˆ eme propri´ et´ e, ou encore pour
un syst` eme quelconque dont la lin´ earisation (locale en temps) partagerait ces
caract´ eristiques. Ceci permet donc d’isoler une cat´ egorie de syst` emes qui sont
n´ ecessairement raides : Un syst` eme diff´ erentiel (i.e. m>1 dans (5.2)) est
raide au moins dans la situation suivante : sur au moins une partie de l’intervalle de temps qu’on consid` ere, la matrice jacobienne
∂f i
∂y j
(t, y)
ij
as e s
valeurs propres λ i v´ erifiant pour tout temps
0 ≥ Re(λ 1 ) ≥ ... ≥ Re(λ N ),
avec |Re(λ N )| grand devant |Re(λ 1 )|.
Exercice 5.16. Expliquer les difficult´ es rencontr´ ees aux Exercices 5.2 et 5.13.
La raideur d’un probl` eme est essentiellement due ` al ap r ´ esence dans le
probl` eme de Cauchy de plusieurs ´ echelles de temps radicalement diff´ erentes.
Dans le cas du syst` eme diff´ erentiel ci-dessus, les λ i peuvent typiquement
repr´ esenter des constantes de temps de l’´ evolution des diff´ erentes variables
du syst` eme physique, et la raideur signifie qu’une des variables ´ evolue incomparablement plus vite qu’une autre. On repensera bien sˆ ur au syst` eme de
cin´ etique chimique (5.1). La vari´ et´ ed e s´ echelles de temps est claire. Pour le
cas d’une ´ equation (et non d’un syst` eme), il faut comprendre que la vari´ et´ e
des ´ echelles de temps s’inscrit plus s´ equentiellement que parall` element comme
dans le cas du syst` eme : au d´ ebut (cf. l’Exercice 5.2) la “pente” est grande,
ceci ´ etant li´ ea uf a i tq u eL est grand, autrement dit la variable varie vite,
puis, quand le temps devient grand, la variable varie plus lentement. L` a est la
vari´ et´ edes´ echelles de temps. Quoi qu’il en soit, la raideur est intrins` equement
li´ ee ` a un comportement dynamique.
Une solution technique adapt´ ee sera donc de laisser de cˆ ot´ etoutem ´ ethode
explicite et d’adopter syst´ ematiquement une m´ ethode implicite, par exemple
le sch´ ema d’Euler implicite vu ci-dessus. Ce sch´ ema est en fait un cas particulier simple d’une famille g´ en´ erale, connue sous le nom de m´ ethodes de
diff´ erentiation r´ etrograde, ou plus couramment m´ ethode BDF, d’apr` es son
acronyme anglais pour Backward Differentiation Formulae.
y n+1 =
p
j=0
a j y n−j + hb −1 f (t n+1 ,y n+1 ).
(5.28)