5.3 Les probl` emes raides
185
Parall` element, l’erreur |e n | est contrˆ ol´ ee par la relation (5.10), qui donne pour
t n = T :
|e N |≤h
T
0
y
′′ (s)e
L(T −s) ds ≤
1
2
hLe
LT .
D` es lors, on constate le fait suivant. Si L est raisonnablement grand mais si e
LT
est ´ enorme, alors, bien qu’on ait un bon contrˆ ole de l’erreur de troncature,
on contrˆ ole tr` es mal l’erreur globale. A contrario, pour contrˆ oler tr` es bien
|e N |, il faut imposer au pas h d’ˆ etre formidablement petit par rapport `
al a
relativement faible contrainte impos´ ee par le contrˆ ole de l’erreur de troncature.
La diff´ erence vient bien sˆ ur de la contrainte de stabilit´ et r ` e sf o r t ed a n sl ec a s
du sch´ ema d’Euler explicite appliqu´ e` a cette ´ equation.
Examinons maintenant le cas d’un syst` eme lin´ eaire
y
′ = Ay,
(5.27)
o` ul am a t r i c eA est choisie, encore pour simplifier, diagonale
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
−λ 1
−λ 2
...
−λ N
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On suppose que les −λ i sont N r´ eels strictement n´ egatifs, class´ es comme suit :
0 > −λ 1 > ... > −λ N . On se place alors dans la situation o` u λ N est tr` es grand
devant λ 1 . On discr´ etise encore par la m´ ethode d’Euler explicite. L’erreur de
troncature peut s’estimer de la fa¸ con suivante :
|ε n |≤h
tn+h
tn
|y
′′ (s)| ds = h
tn+h
tn
N
i=1
λ
2
i e
−sλi ds,
et donc
|ε n |≤h
2
N
i=1
λ
2
i e
−tnλi .
Comme tous les rapports λ i /λ 1 sont strictement plus grands que 1, on en
d´ eduit que d` e sq u el et e m p st n est grand, seul compte dans cette somme le
terme d’indice 1, et l’erreur de troncature est donc grosso modo contrˆ ol´ ee par
|ε n |≤h
2 λ
2
1 e
−tnλ1 .
La contrainte de stabilit´ e absolue est quant `
a elle obtenue en ´ ecrivant que |y n |
doit tendre vers 0 pour les grands indices de n. Comme y n =( 1+hA)
n y 0 ,
on voit que ceci est ´ equivalent `
a |1 − hλ i | < 1 pour tous les indices i,c e
qui est ´ equivalent dans notre situation `
al ac o n t r a i n t e|1 − hλ N | < 1( q u i
est la plus exigeante de toutes), c’est-` a-dire `
a hλ N < 2. Comparons alors
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Parall` element, l’erreur |e n | est contrˆ ol´ ee par la relation (5.10), qui donne pour
t n = T :
|e N |≤h
T
0
y
′′ (s)e
L(T −s) ds ≤
1
2
hLe
LT .
D` es lors, on constate le fait suivant. Si L est raisonnablement grand mais si e
LT
est ´ enorme, alors, bien qu’on ait un bon contrˆ ole de l’erreur de troncature,
on contrˆ ole tr` es mal l’erreur globale. A contrario, pour contrˆ oler tr` es bien
|e N |, il faut imposer au pas h d’ˆ etre formidablement petit par rapport `
al a
relativement faible contrainte impos´ ee par le contrˆ ole de l’erreur de troncature.
La diff´ erence vient bien sˆ ur de la contrainte de stabilit´ et r ` e sf o r t ed a n sl ec a s
du sch´ ema d’Euler explicite appliqu´ e` a cette ´ equation.
Examinons maintenant le cas d’un syst` eme lin´ eaire
y
′ = Ay,
(5.27)
o` ul am a t r i c eA est choisie, encore pour simplifier, diagonale
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
−λ 1
−λ 2
...
−λ N
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On suppose que les −λ i sont N r´ eels strictement n´ egatifs, class´ es comme suit :
0 > −λ 1 > ... > −λ N . On se place alors dans la situation o` u λ N est tr` es grand
devant λ 1 . On discr´ etise encore par la m´ ethode d’Euler explicite. L’erreur de
troncature peut s’estimer de la fa¸ con suivante :
|ε n |≤h
tn+h
tn
|y
′′ (s)| ds = h
tn+h
tn
N
i=1
λ
2
i e
−sλi ds,
et donc
|ε n |≤h
2
N
i=1
λ
2
i e
−tnλi .
Comme tous les rapports λ i /λ 1 sont strictement plus grands que 1, on en
d´ eduit que d` e sq u el et e m p st n est grand, seul compte dans cette somme le
terme d’indice 1, et l’erreur de troncature est donc grosso modo contrˆ ol´ ee par
|ε n |≤h
2 λ
2
1 e
−tnλ1 .
La contrainte de stabilit´ e absolue est quant `
a elle obtenue en ´ ecrivant que |y n |
doit tendre vers 0 pour les grands indices de n. Comme y n =( 1+hA)
n y 0 ,
on voit que ceci est ´ equivalent `
a |1 − hλ i | < 1 pour tous les indices i,c e
qui est ´ equivalent dans notre situation `
al ac o n t r a i n t e|1 − hλ N | < 1( q u i
est la plus exigeante de toutes), c’est-` a-dire `
a hλ N < 2. Comparons alors