184
5 Cin´ etique chimique
0
0.1
0.05
0
10
5
schéma d’Euler 400 pas
schéma d’Euler 500 pas
schéma d’Euler 1000 pas
Fig. 5.3. R´ esultats pour le syst` eme (5.25)
Notre analyse d’un tel cas d´ ebute par une d´ efinition, assez heuristique, des
probl` emes raides.
D´ efinition 5.14. On dira qu’un probl` eme de Cauchy est raide si l’exigence
de stabilit´ ed el am ´ ethode num´ erique employ´ ee (si on se restreint `
au ni n t e r -
valle de temps [0,T] pas trop grand, ou alternativement l’exigence de stabilit´ e
absolue si on s’int´ eresse `
a un intervalle de temps [0,T] grand ou `
a [0, +∞[)
induit sur le pas de temps une contrainte beaucoup plus forte que l’exigence
de pr´ ecision.
Remarque 5.15. Evidemment, un syst` eme peut en pratique ˆ etre raide dans
certains intervalles de temps et pas dans d’autres, et donc la d´ efinition cidessus doit ˆ etre modul´ ee de sorte de s’adapter au cas que le lecteur a en
tˆ ete.
Explicitons un peu cela sur deux exemples.
Regardons d’abord l’exemple du probl` eme (5.2), dans le cas scalaire (m =
1) sur l’intervalle [0,T], T fini, pour une fonction f lipschitzienne, avec une
constante de Lipschitz L moralement grande. Pour simplifier encore plus, on
se restreint au probl` eme lin´ eaire
y
′
= −Ly
y(0) = 1
(5.26)
On choisit de discr´ etiser l’´ equation avec le sch´ ema d’Euler explicite, et h n ≡ h.
L’erreur de troncature est contrˆ ol´ ee via la formule (5.8), qui peut ici s’´ ecrire
|ε n |≤h
tn+1
tn
|y
′′ |≤h
2 L
2 e
−Ltn .
5 Cin´ etique chimique
0
0.1
0.05
0
10
5
schéma d’Euler 400 pas
schéma d’Euler 500 pas
schéma d’Euler 1000 pas
Fig. 5.3. R´ esultats pour le syst` eme (5.25)
Notre analyse d’un tel cas d´ ebute par une d´ efinition, assez heuristique, des
probl` emes raides.
D´ efinition 5.14. On dira qu’un probl` eme de Cauchy est raide si l’exigence
de stabilit´ ed el am ´ ethode num´ erique employ´ ee (si on se restreint `
au ni n t e r -
valle de temps [0,T] pas trop grand, ou alternativement l’exigence de stabilit´ e
absolue si on s’int´ eresse `
a un intervalle de temps [0,T] grand ou `
a [0, +∞[)
induit sur le pas de temps une contrainte beaucoup plus forte que l’exigence
de pr´ ecision.
Remarque 5.15. Evidemment, un syst` eme peut en pratique ˆ etre raide dans
certains intervalles de temps et pas dans d’autres, et donc la d´ efinition cidessus doit ˆ etre modul´ ee de sorte de s’adapter au cas que le lecteur a en
tˆ ete.
Explicitons un peu cela sur deux exemples.
Regardons d’abord l’exemple du probl` eme (5.2), dans le cas scalaire (m =
1) sur l’intervalle [0,T], T fini, pour une fonction f lipschitzienne, avec une
constante de Lipschitz L moralement grande. Pour simplifier encore plus, on
se restreint au probl` eme lin´ eaire
y
′
= −Ly
y(0) = 1
(5.26)
On choisit de discr´ etiser l’´ equation avec le sch´ ema d’Euler explicite, et h n ≡ h.
L’erreur de troncature est contrˆ ol´ ee via la formule (5.8), qui peut ici s’´ ecrire
|ε n |≤h
tn+1
tn
|y
′′ |≤h
2 L
2 e
−Ltn .