5.3 Les probl` emes raides
183
0
1
0.5
-30
-20
-10
0
10
20
schéma d’Euler 10 pas
schéma d’Euler 10 000 pas
solution exacte
Fig. 5.2. R´ esultats pour l’Exercice 5.13 avec le sch´ ema d’Euler explicite.
De mˆ eme que dans l’Exercice, un exemple d’une situation difficile est le
suivant. On cherche `
ar´ esoudrelesyst` eme diff´ erentiel du premier ordre suivant
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
′ = 998 u + 1998 v,
v
′ = −999 u − 1999 v,
u(0) = 1,
v(0) = 0.
(5.25)
La solution exacte peut ˆ etre d´ etermin´ ee par un astucieux changement de
variable et vaut :
u =2e
−t − e
−1000t ,
v = −e
−t + e
−1000t .
Evidemment, aucun ordinateur ne calcule `
a une pr´ ecision telle qu’on puisse
esp´ erer d´ etecter le terme en e
−1000t (une ´ echelle de temps tr` es tr` es rapide
cach´ ee dans le syst` eme) et donc on s’attend raisonnablement
2 ` atrouvergrosso
modo, pour tout t>0,
u =2e
−t ,v = −e
−t .
Ces deux fonctions sont des fonctions a priori bien inoffensives. Pourtant,
en int´ egrant le syst` eme (5.25) par le sch´ ema d’Euler explicite, on trouve les
r´ esultats indiqu´ es dans la figure 5.3. On a repr´ esent´ elafonctionu, qui devrait
ressembler ` a2 e
−t . Les trois courbes ont ´ et´ e obtenues pour ∆t =1/400, ∆t =
1/500, ∆t =1/1000. On a repr´ esent´ e les solutions num´ eriques sur l’intervalle
de temps [0, 0.1], et encore ! On a dˆ u tronquer la premi` ere courbe car elle
explosait. La seconde oscille autour de ce qui semble ˆ etre la bonne solution ;
la troisi` eme semble bonne, au moins sur cet intervalle de temps.
2 encore qu’il y ait un pi` ege, qu’on d´ ecouvrira en examinant les conditions initiales
de (5.25)
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schéma d’Euler 10 pas
schéma d’Euler 10 000 pas
solution exacte
Fig. 5.2. R´ esultats pour l’Exercice 5.13 avec le sch´ ema d’Euler explicite.
De mˆ eme que dans l’Exercice, un exemple d’une situation difficile est le
suivant. On cherche `
ar´ esoudrelesyst` eme diff´ erentiel du premier ordre suivant
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
′ = 998 u + 1998 v,
v
′ = −999 u − 1999 v,
u(0) = 1,
v(0) = 0.
(5.25)
La solution exacte peut ˆ etre d´ etermin´ ee par un astucieux changement de
variable et vaut :
u =2e
−t − e
−1000t ,
v = −e
−t + e
−1000t .
Evidemment, aucun ordinateur ne calcule `
a une pr´ ecision telle qu’on puisse
esp´ erer d´ etecter le terme en e
−1000t (une ´ echelle de temps tr` es tr` es rapide
cach´ ee dans le syst` eme) et donc on s’attend raisonnablement
2 ` atrouvergrosso
modo, pour tout t>0,
u =2e
−t ,v = −e
−t .
Ces deux fonctions sont des fonctions a priori bien inoffensives. Pourtant,
en int´ egrant le syst` eme (5.25) par le sch´ ema d’Euler explicite, on trouve les
r´ esultats indiqu´ es dans la figure 5.3. On a repr´ esent´ elafonctionu, qui devrait
ressembler ` a2 e
−t . Les trois courbes ont ´ et´ e obtenues pour ∆t =1/400, ∆t =
1/500, ∆t =1/1000. On a repr´ esent´ e les solutions num´ eriques sur l’intervalle
de temps [0, 0.1], et encore ! On a dˆ u tronquer la premi` ere courbe car elle
explosait. La seconde oscille autour de ce qui semble ˆ etre la bonne solution ;
la troisi` eme semble bonne, au moins sur cet intervalle de temps.
2 encore qu’il y ait un pi` ege, qu’on d´ ecouvrira en examinant les conditions initiales
de (5.25)