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5 Cin´ etique chimique
On consid` e r el ep r o b l ` eme de Cauchy lin´ eaire
y
′ (t)=λy(t)
pour tout t>0,
y(0) = 1,
(5.22)
o` u λ ∈ C et y est ` a valeurs dans C.B i e ns ˆ
ur, sa solution est y(t)=e
λt .E n
particulier, pour Re(λ) < 0, cette solution tend vers z´ ero quand le temps tend
vers l’infini. Il est courant de juger d’une m´ ethode num´ erique en constatant si
oui ou non elle sait reproduire ce comportement. Pour cela, on a la d´ efinition
suivante.
D´ efinition 5.12. Soit y n la solution fournie par une m´ ethode num´ erique
donn´ ee sur l’´ equation (5.22) pour un certain λ ∈ C fix´ e, et en prenant un
pas constant h. Nous nous int´ eressons `
al ap r o p r i ´ et´ e
lim
n−→ +∞
|y n | =0,
(5.23)
que nous appelerons propri´ et´ ed es t a b i l i t ´ e absolue pour l’accroissement hλ.
Nous d´ efinissons l’ensemble
D = {z = hλ ∈ C ;( 5 .23) est vraie}.
Cet ensemble est appel´ eledomaine de stabilit´ e absolue de la m´ ethode. Lorsque
ce domaine contient C
− = {z ∈ C; Re(z) ≤ 0},l am ´ ethode est dite inconditionnellement absolument stable.
Avec cette d´ efinition, le sch´ ema d’Euler explicite, dont on rappelle qu’il est
stable, n’est pas inconditionnellement absolument stable alors que le sch´ ema
d’Euler implicite est, lui, inconditionnellement absolument stable.
5.3 Les probl` emes raides
Pour l’essentiel des probl` emes de Cauchy apparaissant naturellement en Calcul
Scientifique, on rencontre des difficult´ es quand on utilise une m´ ethode de
discr´ etisation explicite. L’exemple de l’exercice suivant met en sc` ene de telles
difficult´ es (qu’on a en fait d´ ej` a rencontr´ ees ` a l’Exercice 5.2 ci-dessus).
Exercice 5.13. On veut r´ esoudre
⎧
⎨
⎩
y
′′ = 100y
pour tout t ∈ [0, 1],
y(t =0)=1,
y
′ (t =0)=−10.
(5.24)
Identifier la solution exacte. Pour calculer cette solution, nous mettons (5.24)
sous la forme
d
dt
y
y
′
=
01
100 0
y
y
′
V´ erifier, en programmant le sch´ ema d’Euler explicite pour les pas de temps
∆t =1 /10, ∆t =1 /10000 que le comportement est celui de la Figure 5.2.
Comparer `
a la solution exacte.
5 Cin´ etique chimique
On consid` e r el ep r o b l ` eme de Cauchy lin´ eaire
y
′ (t)=λy(t)
pour tout t>0,
y(0) = 1,
(5.22)
o` u λ ∈ C et y est ` a valeurs dans C.B i e ns ˆ
ur, sa solution est y(t)=e
λt .E n
particulier, pour Re(λ) < 0, cette solution tend vers z´ ero quand le temps tend
vers l’infini. Il est courant de juger d’une m´ ethode num´ erique en constatant si
oui ou non elle sait reproduire ce comportement. Pour cela, on a la d´ efinition
suivante.
D´ efinition 5.12. Soit y n la solution fournie par une m´ ethode num´ erique
donn´ ee sur l’´ equation (5.22) pour un certain λ ∈ C fix´ e, et en prenant un
pas constant h. Nous nous int´ eressons `
al ap r o p r i ´ et´ e
lim
n−→ +∞
|y n | =0,
(5.23)
que nous appelerons propri´ et´ ed es t a b i l i t ´ e absolue pour l’accroissement hλ.
Nous d´ efinissons l’ensemble
D = {z = hλ ∈ C ;( 5 .23) est vraie}.
Cet ensemble est appel´ eledomaine de stabilit´ e absolue de la m´ ethode. Lorsque
ce domaine contient C
− = {z ∈ C; Re(z) ≤ 0},l am ´ ethode est dite inconditionnellement absolument stable.
Avec cette d´ efinition, le sch´ ema d’Euler explicite, dont on rappelle qu’il est
stable, n’est pas inconditionnellement absolument stable alors que le sch´ ema
d’Euler implicite est, lui, inconditionnellement absolument stable.
5.3 Les probl` emes raides
Pour l’essentiel des probl` emes de Cauchy apparaissant naturellement en Calcul
Scientifique, on rencontre des difficult´ es quand on utilise une m´ ethode de
discr´ etisation explicite. L’exemple de l’exercice suivant met en sc` ene de telles
difficult´ es (qu’on a en fait d´ ej` a rencontr´ ees ` a l’Exercice 5.2 ci-dessus).
Exercice 5.13. On veut r´ esoudre
⎧
⎨
⎩
y
′′ = 100y
pour tout t ∈ [0, 1],
y(t =0)=1,
y
′ (t =0)=−10.
(5.24)
Identifier la solution exacte. Pour calculer cette solution, nous mettons (5.24)
sous la forme
d
dt
y
y
′
=
01
100 0
y
y
′
V´ erifier, en programmant le sch´ ema d’Euler explicite pour les pas de temps
∆t =1 /10, ∆t =1 /10000 que le comportement est celui de la Figure 5.2.
Comparer `
a la solution exacte.