5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
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Le lecteur comparera cette d´ efinition de stabilit´ e “discr` ete” portant sur le
sch´ ema num´ erique avec la formulation “continue” de stabilit´ esuivanteportant
sur l’´ equation elle-mˆ eme, qu’il connaˆ ıt sans doute et que nous rappelons ici.
D´ efinition 5.9. Un probl` eme de Cauchy du type (5.2) est dit stable si il existe
une constante C telle que pour tout ε>0 fix´ e et pour toute perturbation δ 0 ∈
IR
m et δ(t) ∈ C
0 (I,IR
m ) des donn´ ees satisfaisant |δ 0 |≤ε, |δ(t)|≤ε, ∀t ∈ I,
la solution z du probl` eme de Cauchy perturb´ e
z
′ = f (t, z)+δ(t)
pour tout t ∈ I,
z(t =0)=y 0 + δ 0 ,
(5.20)
v´ erifie |z(t) − y(t)|≤Cε ou, ce qui est une variante
1 ,
|z(t) − y(t)|≤C|δ 0 | + C
t
0
|δ(s)| ds, ∀t ∈ I.
Pour T<+∞,e tf continue v´ erifiant la condition de Lipschitz (5.3),
on peut montrer que le probl` eme de Cauchy (5.2) est stable (au sens de la
d´ efinition ci-dessus). De mˆ eme, sous des conditions raisonnables sur Φ (Φ
est lipschitzienne par rapport `
a la variable y, et ce uniform´ ement en h et
t ∈ [0,T]), le sch´ ema (5.17) est stable. Reste ` ad ´ efinir la convergence.
D´ efinition 5.10. Le sch´ ema (5.17) est dit convergent si
lim
h−→ 0
max 0≤n≤N |e n | =0.
(5.21)
Exercice 5.11. Montrer qu’un sch´ ema de type (5.17) consistant et stable est
convergent. On exprime souvent ceci en disant stabilit´ e + consistance =⇒
convergence
L’exercice pr´ ec´ edent montre donc que les propri´ et´ es de consistance et de
stabilit´ e sont suffisantes pour assurer la convergence du sch´ ema. La consistanceexprimequelesch´ ema est, pas par pas, proche de l’´ equation, la stabilit´ e
exprime que “la d´ eriv´ ee du r´ esultat par rapport `
a des perturbations r´ ep´ et´ ees”
est born´ ee, et donc, quand h tend vers z´ ero, on obtient asymptotiquement la
solution exacte. Certes. Mais on se souvient que le sch´ ema d’Euler explicite est
consistant, stable et convergeant, au sens des d´ efinitions ci-dessus, ce qui ne
l’emp` eche pas d’ˆ etre peu efficace dans les situations difficiles. Par ces notions,
nous sommes donc rassur´ es sur les propri´ et´ es th´ eoriques du sch´ ema, mais peu
renseign´ es sur ses r´ eelles performances dans la pratique, notamment en ce qui
concerne les temps longs d’int´ egration. Il nous faut donc une autre d´ efinition.
Pour poser cette d´ efinition, qui sera celle de la stabilit´ e absolue d’une m´ ethode,
nous aurons besoin d’un probl` e m ed eC a u c h yd er ´ ef´ erence. Ce probl` eme sera
le probl` eme lin´ eaire du type (5.13) que nous r´ ecrivons ici de la fa¸ con suivante.
1 non rigoureusement ´ equivalente mais utilis´ ee en pratique
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Le lecteur comparera cette d´ efinition de stabilit´ e “discr` ete” portant sur le
sch´ ema num´ erique avec la formulation “continue” de stabilit´ esuivanteportant
sur l’´ equation elle-mˆ eme, qu’il connaˆ ıt sans doute et que nous rappelons ici.
D´ efinition 5.9. Un probl` eme de Cauchy du type (5.2) est dit stable si il existe
une constante C telle que pour tout ε>0 fix´ e et pour toute perturbation δ 0 ∈
IR
m et δ(t) ∈ C
0 (I,IR
m ) des donn´ ees satisfaisant |δ 0 |≤ε, |δ(t)|≤ε, ∀t ∈ I,
la solution z du probl` eme de Cauchy perturb´ e
z
′ = f (t, z)+δ(t)
pour tout t ∈ I,
z(t =0)=y 0 + δ 0 ,
(5.20)
v´ erifie |z(t) − y(t)|≤Cε ou, ce qui est une variante
1 ,
|z(t) − y(t)|≤C|δ 0 | + C
t
0
|δ(s)| ds, ∀t ∈ I.
Pour T<+∞,e tf continue v´ erifiant la condition de Lipschitz (5.3),
on peut montrer que le probl` eme de Cauchy (5.2) est stable (au sens de la
d´ efinition ci-dessus). De mˆ eme, sous des conditions raisonnables sur Φ (Φ
est lipschitzienne par rapport `
a la variable y, et ce uniform´ ement en h et
t ∈ [0,T]), le sch´ ema (5.17) est stable. Reste ` ad ´ efinir la convergence.
D´ efinition 5.10. Le sch´ ema (5.17) est dit convergent si
lim
h−→ 0
max 0≤n≤N |e n | =0.
(5.21)
Exercice 5.11. Montrer qu’un sch´ ema de type (5.17) consistant et stable est
convergent. On exprime souvent ceci en disant stabilit´ e + consistance =⇒
convergence
L’exercice pr´ ec´ edent montre donc que les propri´ et´ es de consistance et de
stabilit´ e sont suffisantes pour assurer la convergence du sch´ ema. La consistanceexprimequelesch´ ema est, pas par pas, proche de l’´ equation, la stabilit´ e
exprime que “la d´ eriv´ ee du r´ esultat par rapport `
a des perturbations r´ ep´ et´ ees”
est born´ ee, et donc, quand h tend vers z´ ero, on obtient asymptotiquement la
solution exacte. Certes. Mais on se souvient que le sch´ ema d’Euler explicite est
consistant, stable et convergeant, au sens des d´ efinitions ci-dessus, ce qui ne
l’emp` eche pas d’ˆ etre peu efficace dans les situations difficiles. Par ces notions,
nous sommes donc rassur´ es sur les propri´ et´ es th´ eoriques du sch´ ema, mais peu
renseign´ es sur ses r´ eelles performances dans la pratique, notamment en ce qui
concerne les temps longs d’int´ egration. Il nous faut donc une autre d´ efinition.
Pour poser cette d´ efinition, qui sera celle de la stabilit´ e absolue d’une m´ ethode,
nous aurons besoin d’un probl` e m ed eC a u c h yd er ´ ef´ erence. Ce probl` eme sera
le probl` eme lin´ eaire du type (5.13) que nous r´ ecrivons ici de la fa¸ con suivante.
1 non rigoureusement ´ equivalente mais utilis´ ee en pratique