180
5 Cin´ etique chimique
D´ efinition 5.6. Nous appelons ordre du sch´ ema
y n+1 = y n + h n Φ(t n ,y n ; h n ),
(5.17)
le plus grand entier p tel que l’erreur locale de troncature v´ erifie
y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h)=O
h
p+1
.
(5.18)
pour toute fonction f qui est p fois continˆ ument d´ erivable et toute solution
y(t) de (5.2). Nous dirons de fa¸ con ´ equivalente qu’il est pr´ ecis ` a l’ordre p +1.
Le sch´ ema sera dit consistant s’il est d’ordre p ≥ 1.
Noter qu’avec Φ(t, y; h)=f (t, y) on retrouve ci-dessus le sch´ ema d’Euler
explicite. Le sch´ ema d’Euler implicite (5.12) se met aussi sous la forme cidessus en choisissant hΦ(t, y; h)=Ψ (t, y; h) − y,o` u Ψ (t, y; h) est (sous r´ eserve
de bonnes conditions sur la fonction f ) l’unique solution z de z = y + hf (t +
h, z).
Remarque 5.7. On pourrait se poser la question suivante : pourquoi la propri´ et´ e minimale exig´ ee est-elle O
h
2
et pas O
h
? ou, en d’autres termes,
pourquoi la consistance est-elle associ´ ee ` a p =1e tn o n` a p = 0 pour l’erreur
de troncature ? La raison est qu’on ne s’int´ eresse pas tant ` a une erreur de
troncature, mais `
al asomme d’entre elles. Si on impose (5.18) avec p ≥ 1, on
voit que
N −1
n=0
y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h)
≤
N −1
n=0
O
h
2
=
N −1
n=0
h
O
h
= TO
h
−→ 0,
ce qui ne serait pas vrai pour (5.18) avec seulement p = 0. Certains auteurs
choisissent ainsi de d´ efinir la consistance de mani` ere un peu diff´ erente, mais
avec le mˆ eme objectif.
Passons maintenant `
a la stabilit´ e.
D´ efinition 5.8. Le sch´ ema (5.17) est dit stable si il existe h
∗ > 0 et une
constante M ind´ ependante de h
∗ et de
T
N
n=1 h n
(mais d´ ependant ´ eventuellement de T ) telle que, pour toutes les suites h n ≤ h
∗ , y n , z n , δ n v´ erifiant,
pour 0 ≤ n
max 0≤n≤N |z n − y n |≤M
|y 0 − z 0 | +
0≤n
.
(5.19)
5 Cin´ etique chimique
D´ efinition 5.6. Nous appelons ordre du sch´ ema
y n+1 = y n + h n Φ(t n ,y n ; h n ),
(5.17)
le plus grand entier p tel que l’erreur locale de troncature v´ erifie
y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h)=O
h
p+1
.
(5.18)
pour toute fonction f qui est p fois continˆ ument d´ erivable et toute solution
y(t) de (5.2). Nous dirons de fa¸ con ´ equivalente qu’il est pr´ ecis ` a l’ordre p +1.
Le sch´ ema sera dit consistant s’il est d’ordre p ≥ 1.
Noter qu’avec Φ(t, y; h)=f (t, y) on retrouve ci-dessus le sch´ ema d’Euler
explicite. Le sch´ ema d’Euler implicite (5.12) se met aussi sous la forme cidessus en choisissant hΦ(t, y; h)=Ψ (t, y; h) − y,o` u Ψ (t, y; h) est (sous r´ eserve
de bonnes conditions sur la fonction f ) l’unique solution z de z = y + hf (t +
h, z).
Remarque 5.7. On pourrait se poser la question suivante : pourquoi la propri´ et´ e minimale exig´ ee est-elle O
h
2
et pas O
h
? ou, en d’autres termes,
pourquoi la consistance est-elle associ´ ee ` a p =1e tn o n` a p = 0 pour l’erreur
de troncature ? La raison est qu’on ne s’int´ eresse pas tant ` a une erreur de
troncature, mais `
al asomme d’entre elles. Si on impose (5.18) avec p ≥ 1, on
voit que
N −1
n=0
y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h)
≤
N −1
n=0
O
h
2
=
N −1
n=0
h
O
h
= TO
h
−→ 0,
ce qui ne serait pas vrai pour (5.18) avec seulement p = 0. Certains auteurs
choisissent ainsi de d´ efinir la consistance de mani` ere un peu diff´ erente, mais
avec le mˆ eme objectif.
Passons maintenant `
a la stabilit´ e.
D´ efinition 5.8. Le sch´ ema (5.17) est dit stable si il existe h
∗ > 0 et une
constante M ind´ ependante de h
∗ et de
T
N
n=1 h n
(mais d´ ependant ´ eventuellement de T ) telle que, pour toutes les suites h n ≤ h
∗ , y n , z n , δ n v´ erifiant,
pour 0 ≤ n
max 0≤n≤N |z n − y n |≤M
|y 0 − z 0 | +
0≤n
.
(5.19)