5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
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donc ´ economiser du temps calcul en choisissant un pas de temps plus grand,
contrepartie du fait que chaque it´ eration “implicite” est plus coˆ uteuse.
Remarque 5.3. On ne doit pas penser pour autant que le sch´ ema d’Euler implicite est parfait ! Pour l’´ equation (5.13) avec λ<0, il fournit une approximation
y n qui tend vers 0 quand n −→ +∞ alors que la solution exacte explose vers
+∞.
Nous avons le r´ esultat suivant, que nous admettons (voir cependant un cas
particulier en exercice) :
Th´ eor` eme 5.4. On suppose que la fonction f v´ erifie la condition (5.4) et que
pour tout n, h n l(t n+1 ) < 1. Alors, la formule de r´ ecurrence (5.12) d´ efinit bien
une valeur unique de y n+1 et la m´ ethode d’Euler implicite est convergente.
Exercice 5.5. On applique le sch´ ema d’Euler implicite sur l’´ equation (5.13),
avec λ>0 grand. Montrer que l’erreur s’´ ecrit pour tout n
e n =
n−1
l=0
n−1
k=l+1
1
1+λh k
ε l .
(5.16)
En d´ eduire une estimation de |e n | quand le pas h est constant. Comparer avec
le cas du sch´ ema d’Euler explicite. Montrer que le sch´ ema d’Euler implicite
est convergent pour l’´ equation (5.13).
On peut en fait remarquer que prouver la convergence d’un sch´ ema implicite quand le pas h tend vers z´ ero est un peu une coquetterie. En effet,
cela revient ` a montrer que quand le pas de temps tend vers z´ ero, les choses se
passent bien, alors que dans la pratique tout l’int´ erˆ et d’un sch´ ema implicite
est de pouvoir prendre un pas de temps grand, mˆ eme quand les constantes de
Lipschitz sont grandes ! A cela, deux r´ eponses au moins :
- il est utile de v´ erifier la convergence quand h −→ 0 pour avoir une id´ ee de
la qualit´ ed us c h ´ ema ;
- il existe d’autres ´ etudes de convergence des sch´ emas implicites, valables
pr´ ecis´ ement dans un contexte o` uonn’apash petit `
a L grand donn´ e, mais
par exemple hL −→ +∞, ce qui est plus proche de la r´ ealit´ e ; ces ´ etudes
sont le fait des “professionnels” de la r´ esolution num´ erique des ´ equations
diff´ erentielles ordinaires difficiles (“raides”, au sens d’une d´ efinition que
nous verrons plus loin), et d´ epassent largement, par leur technicit´ e, le
cadre de ce cours. Nous verrons cependant des id´ ees dans la mˆ eme direction `
a la section 5.3.
5.2.3 Pr´ ecision, stabilit´ ee tc o n v e r g e n c e
Nous rappelons maintenant dans le cadre simplifi´ e qui est le nˆ otre ici les
notions de pr´ ecision, consistance, stabilit´ e d’une m´ ethode que nous avons introduites ci-dessus dans le cas des sch´ emas d’Euler.
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donc ´ economiser du temps calcul en choisissant un pas de temps plus grand,
contrepartie du fait que chaque it´ eration “implicite” est plus coˆ uteuse.
Remarque 5.3. On ne doit pas penser pour autant que le sch´ ema d’Euler implicite est parfait ! Pour l’´ equation (5.13) avec λ<0, il fournit une approximation
y n qui tend vers 0 quand n −→ +∞ alors que la solution exacte explose vers
+∞.
Nous avons le r´ esultat suivant, que nous admettons (voir cependant un cas
particulier en exercice) :
Th´ eor` eme 5.4. On suppose que la fonction f v´ erifie la condition (5.4) et que
pour tout n, h n l(t n+1 ) < 1. Alors, la formule de r´ ecurrence (5.12) d´ efinit bien
une valeur unique de y n+1 et la m´ ethode d’Euler implicite est convergente.
Exercice 5.5. On applique le sch´ ema d’Euler implicite sur l’´ equation (5.13),
avec λ>0 grand. Montrer que l’erreur s’´ ecrit pour tout n
e n =
n−1
l=0
n−1
k=l+1
1
1+λh k
ε l .
(5.16)
En d´ eduire une estimation de |e n | quand le pas h est constant. Comparer avec
le cas du sch´ ema d’Euler explicite. Montrer que le sch´ ema d’Euler implicite
est convergent pour l’´ equation (5.13).
On peut en fait remarquer que prouver la convergence d’un sch´ ema implicite quand le pas h tend vers z´ ero est un peu une coquetterie. En effet,
cela revient ` a montrer que quand le pas de temps tend vers z´ ero, les choses se
passent bien, alors que dans la pratique tout l’int´ erˆ et d’un sch´ ema implicite
est de pouvoir prendre un pas de temps grand, mˆ eme quand les constantes de
Lipschitz sont grandes ! A cela, deux r´ eponses au moins :
- il est utile de v´ erifier la convergence quand h −→ 0 pour avoir une id´ ee de
la qualit´ ed us c h ´ ema ;
- il existe d’autres ´ etudes de convergence des sch´ emas implicites, valables
pr´ ecis´ ement dans un contexte o` uonn’apash petit `
a L grand donn´ e, mais
par exemple hL −→ +∞, ce qui est plus proche de la r´ ealit´ e ; ces ´ etudes
sont le fait des “professionnels” de la r´ esolution num´ erique des ´ equations
diff´ erentielles ordinaires difficiles (“raides”, au sens d’une d´ efinition que
nous verrons plus loin), et d´ epassent largement, par leur technicit´ e, le
cadre de ce cours. Nous verrons cependant des id´ ees dans la mˆ eme direction `
a la section 5.3.
5.2.3 Pr´ ecision, stabilit´ ee tc o n v e r g e n c e
Nous rappelons maintenant dans le cadre simplifi´ e qui est le nˆ otre ici les
notions de pr´ ecision, consistance, stabilit´ e d’une m´ ethode que nous avons introduites ci-dessus dans le cas des sch´ emas d’Euler.