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5 Cin´ etique chimique
Comme la solution exacte est y(t)=e
−20t , on s’attend `
ac eq u e ,m ˆ eme sur le
segment [0,1], la solution s’´ ecrase vite vers 0. Calculer (` alamain!)lasolution
num´ erique obtenue via le sch´ ema d’Euler explicite pour le pas de temps ∆t =
1/10, puis pour ∆t =1/20. Commenter.
Programmer la r´ esolution pour ∆t =1/40.
5.2.2 Sch´ ema d’Euler implicite
On introduit le sch´ ema suivant, dit sch´ ema d’Euler implicite
y n+1 = y n + h n f (t n+1 ,y n+1 ), 0 ≤ n ≤ N − 1
(5.12)
pour la r´ esolution du syst` eme (5.2).
La d´ enomination implicite est claire : y n+1 est une fonction implicite
de y n , et cela justifie r´ etrospectivement la d´ enomination explicite pour le
sch´ ema (5.5). En pratique, il ne sera pas forc´ ement facile de calculer y n+1
` ap a r t i rd ey n via la relation (5.12). Ceci peut par exemple n´ ecessiter un
algorithme de r´ esolution de type Newton, lequel n´ ecessitera lui-mˆ eme une
r´ esolution de syst` eme lin´ eaire ` ac h a q u ei t ´ eration. Dans l’´ evaluation du coˆ ut
d’une m´ ethode implicite, on devra tenir compte, non seulement comme dans
le cas des m´ ethodes explicites du nombre de pas de temps, mais du coˆ ut de
chacun des pas de temps.
L’erreur de troncature du sch´ ema d’Euler implicite est la mˆ eme que pour
le sch´ ema d’Euler explicite, mais la diff´ erence cruciale entre les deux sch´ emas
se situe dans l’analyse de la stabilit´ e. Nous rappellerons la d´ efinition exacte
de la stabilit´ e ci-dessous (stabilit´ e et stabilit´ e absolue, respectivement aux
D´ efinitions 5.8 et 5.12). Regardons ici un crit` ere li´ e` a cette notion de stabilit´ e,
` a savoir le fait de pouvoir affirmer sur la r´ esolution de
y
′
= −λy,
y(0) = y 0
(5.13)
avec λ>0, que |y n | est uniform´ ement born´ ee nn.
Il est imm´ ediat de v´ erifier que le sch´ ema (5.12) s’´ ecrit alors (1+λh n )y n+1 =
y n ,d ’ o `
u
y n+1 =
n
k=0
1
1+λh k
y 0 .
(5.14)
On d´ eduit de (5.14) que |y n | reste born´ e( p a r|y 0 | ici) pour tout n,
ind´ ependamment d’ailleurs du choix des pas h k . Il est instructif de faire la
comparaison avec le sch´ ema d’Euler explicite qui donne :
y n+1 =
n
k=0
(1 − λh k )y 0 ,
(5.15)
et qui donc ne fournira une solution born´ ee pour tout n que sous une contrainte
sur les pas h k .P o u ru ns c h ´ ema comme le sch´ ema d’Euler implicite on pourra
5 Cin´ etique chimique
Comme la solution exacte est y(t)=e
−20t , on s’attend `
ac eq u e ,m ˆ eme sur le
segment [0,1], la solution s’´ ecrase vite vers 0. Calculer (` alamain!)lasolution
num´ erique obtenue via le sch´ ema d’Euler explicite pour le pas de temps ∆t =
1/10, puis pour ∆t =1/20. Commenter.
Programmer la r´ esolution pour ∆t =1/40.
5.2.2 Sch´ ema d’Euler implicite
On introduit le sch´ ema suivant, dit sch´ ema d’Euler implicite
y n+1 = y n + h n f (t n+1 ,y n+1 ), 0 ≤ n ≤ N − 1
(5.12)
pour la r´ esolution du syst` eme (5.2).
La d´ enomination implicite est claire : y n+1 est une fonction implicite
de y n , et cela justifie r´ etrospectivement la d´ enomination explicite pour le
sch´ ema (5.5). En pratique, il ne sera pas forc´ ement facile de calculer y n+1
` ap a r t i rd ey n via la relation (5.12). Ceci peut par exemple n´ ecessiter un
algorithme de r´ esolution de type Newton, lequel n´ ecessitera lui-mˆ eme une
r´ esolution de syst` eme lin´ eaire ` ac h a q u ei t ´ eration. Dans l’´ evaluation du coˆ ut
d’une m´ ethode implicite, on devra tenir compte, non seulement comme dans
le cas des m´ ethodes explicites du nombre de pas de temps, mais du coˆ ut de
chacun des pas de temps.
L’erreur de troncature du sch´ ema d’Euler implicite est la mˆ eme que pour
le sch´ ema d’Euler explicite, mais la diff´ erence cruciale entre les deux sch´ emas
se situe dans l’analyse de la stabilit´ e. Nous rappellerons la d´ efinition exacte
de la stabilit´ e ci-dessous (stabilit´ e et stabilit´ e absolue, respectivement aux
D´ efinitions 5.8 et 5.12). Regardons ici un crit` ere li´ e` a cette notion de stabilit´ e,
` a savoir le fait de pouvoir affirmer sur la r´ esolution de
y
′
= −λy,
y(0) = y 0
(5.13)
avec λ>0, que |y n | est uniform´ ement born´ ee nn.
Il est imm´ ediat de v´ erifier que le sch´ ema (5.12) s’´ ecrit alors (1+λh n )y n+1 =
y n ,d ’ o `
u
y n+1 =
n
k=0
1
1+λh k
y 0 .
(5.14)
On d´ eduit de (5.14) que |y n | reste born´ e( p a r|y 0 | ici) pour tout n,
ind´ ependamment d’ailleurs du choix des pas h k . Il est instructif de faire la
comparaison avec le sch´ ema d’Euler explicite qui donne :
y n+1 =
n
k=0
(1 − λh k )y 0 ,
(5.15)
et qui donc ne fournira une solution born´ ee pour tout n que sous une contrainte
sur les pas h k .P o u ru ns c h ´ ema comme le sch´ ema d’Euler implicite on pourra