5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
177
sous la forme
e n+1 = e n + h n (f (t n ,y(t n )) − f (t n ,y n )) + ε n .
Si f v´ erifie la condition de Lipschitz (5.3), on en d´ eduit |e n+1 |≤(1+Lh)|e n |+
|ε n |. A l’aide d’un raisonnement par r´ ecurrence sur n,a v e ce 0 = 0, il est
basique de voir que ceci implique l’estimation suivante, qui exprime en fait la
stabilit´ ed us c h ´ ema :
|e n |≤
n−1
k=0
|ε k |e
L(tn−t k+1 ) ,
(5.9)
On d´ eduit de (5.8) et (5.9) :
|e n |≤h
n−1
k=0
e
L(tn−t k+1 )
t k+1
t k
|y
′′ (t)| dt
≤ h
n−1
k=0
t k+1
t k
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt
≤ h
tn
0
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt.
Nous avons prouv´ el er ´ esultat suivant.
Th´ eor` eme 5.1. Quand la fonction f v´ erifie la condition de Lipschitz (5.3),
le sch´ ema d’Euler explicite est convergent. Si la solution exacte y est de plus
de classe C
2 , on peut estimer l’erreur par
|e n |≤h
tn
0
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt.
(5.10)
Le coˆ ut d’une m´ ethode comme (5.5) est seulement d´ etermin´ ep a rl e s
´ evaluations de la fonction f ` a chaque pas de temps. Economiser du temps
de calcul n´ ecessite donc de r´ eduire le nombre de pas de temps, ou, ce qui
revient au mˆ eme, d’augmenter les h n . L’id´ ee motrice est de se dire que quand
on remarque que l’erreur qu’on commet est tol´ erable, on s’autorise pour les
quelques pas de temps qui suivent un pas de temps plus large, et quand au
contraire, on d´ ec` ele une erreur devenant dangereusement grande, on raffine
localement le pas de temps. On parle d’une strat´ egie de contrˆ ole du pas, laquelle peut ˆ etre tr` es difficile ` a mettre en oeuvre, surtout sur les probl` emes
multi´ echelles qui nous occuperont plus loin.
Exercice 5.2. L’objet de l’exercice est de montrer que le sch´ ema d’Euler
explicite n´ ecessite de petits pas de temps. On consid` ere
y
′ = −20 y
pour tout t ∈ [0, 1],
y(t =0)=1.
(5.11)
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sous la forme
e n+1 = e n + h n (f (t n ,y(t n )) − f (t n ,y n )) + ε n .
Si f v´ erifie la condition de Lipschitz (5.3), on en d´ eduit |e n+1 |≤(1+Lh)|e n |+
|ε n |. A l’aide d’un raisonnement par r´ ecurrence sur n,a v e ce 0 = 0, il est
basique de voir que ceci implique l’estimation suivante, qui exprime en fait la
stabilit´ ed us c h ´ ema :
|e n |≤
n−1
k=0
|ε k |e
L(tn−t k+1 ) ,
(5.9)
On d´ eduit de (5.8) et (5.9) :
|e n |≤h
n−1
k=0
e
L(tn−t k+1 )
t k+1
t k
|y
′′ (t)| dt
≤ h
n−1
k=0
t k+1
t k
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt
≤ h
tn
0
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt.
Nous avons prouv´ el er ´ esultat suivant.
Th´ eor` eme 5.1. Quand la fonction f v´ erifie la condition de Lipschitz (5.3),
le sch´ ema d’Euler explicite est convergent. Si la solution exacte y est de plus
de classe C
2 , on peut estimer l’erreur par
|e n |≤h
tn
0
|y
′′ (t)|e
L(tn−t) dt.
(5.10)
Le coˆ ut d’une m´ ethode comme (5.5) est seulement d´ etermin´ ep a rl e s
´ evaluations de la fonction f ` a chaque pas de temps. Economiser du temps
de calcul n´ ecessite donc de r´ eduire le nombre de pas de temps, ou, ce qui
revient au mˆ eme, d’augmenter les h n . L’id´ ee motrice est de se dire que quand
on remarque que l’erreur qu’on commet est tol´ erable, on s’autorise pour les
quelques pas de temps qui suivent un pas de temps plus large, et quand au
contraire, on d´ ec` ele une erreur devenant dangereusement grande, on raffine
localement le pas de temps. On parle d’une strat´ egie de contrˆ ole du pas, laquelle peut ˆ etre tr` es difficile ` a mettre en oeuvre, surtout sur les probl` emes
multi´ echelles qui nous occuperont plus loin.
Exercice 5.2. L’objet de l’exercice est de montrer que le sch´ ema d’Euler
explicite n´ ecessite de petits pas de temps. On consid` ere
y
′ = −20 y
pour tout t ∈ [0, 1],
y(t =0)=1.
(5.11)